1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质基础梳理1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面内的 一条直线都垂直,就说直线a与平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(3)直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 .任意相交直线平行2.点面、线面距离及线面角(1)点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线,的距离,叫做这个点到这个平面的距离.(2)直线和平面的距离 一条直线和一个平面 ,这条直线上 到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.(3)直线与平面所成的角 平
2、面的一条斜线与它在这个平面内的 所成的 ,叫做这条直线与这个平面所成的角.一条直线 于平面,则称它们所成的角是直角;一条直线与平面 或 ,则称它们所成的角是0的角.这个点和垂足间平行任意一点射影锐角垂直平行在平面内3.二面角及其平面角 4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是 ,那么就说这两个平面互相垂直.(1)二面角的定义 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ,这条直线叫做二面角的 ,每个半平面叫做二面角的 .(2)二面角平面角的定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 .二面角棱面平
3、面角直二面角(2)平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 ,那么这两个平面互相垂直.典例分析题型一 线线垂直【例1】如图,=CD,EA,垂足为A,EB,垂足为B,求证:CDAB.分析 要证CDAB,只需证CD平面ABE即可.(3)平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面.一条垂线交线证明 =CD,CD,CD.又EA,CD,EACD.同理EBCD.EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB.AB平面EAB,ABCD.学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证
4、出,如勾股定理、等腰三角形的性质等;若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.举一反三 1.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证:AESB,AGSD.证明：SA平面ABCD,BC 平面ABCD,SABC.又BCAB,SAAB=A,BC平面SAB.又AE平面SAB,BCAE.SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE.BCSC=C,AE平面SBC.又SB平面SBC,AESB.同理可证,AGSD.题型二 线面垂直【例2】如图,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.
5、求证:(1)BC平面PAB;(2)AE平面PBC;(3)PC平面AEF.分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.证明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB.PAAB=A(2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC.PBBC=B(3)PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF.AEAF=A 学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直.在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用.由于线线垂直是相互的,应充分考虑线
6、和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.举一反三 2.已知P为RtABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，求证：PD平面ABC.证明：如图，连接CD.PA=PB，D为斜边AB的中点，PDAB.D为斜边AB的中点，CD=AB=AD.又PA=PC，PDDC.又ABCD=D,PD平面ABC.222PAADPD12222PCCDPD题型三 面面垂直【例3】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证：（1）DE=DA;(2)平面MBD平面ECA;(3)平面DEA平面ECA.分析 （1）要证明DE=DA,只需证明取EC
7、中点F构造的RtDEFRtADB.(2)注意到M为EA中点，可取CA中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明BN与平面ECA垂直即可.(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线.证明（1）方法一：如图，取EC的中点F，连接DF.EC平面ABC，ECBC.CE=2BD，BD=CF.又BDCE,BD CF.四边形BDFC是平行四边形.BC DF.DFEC.在RtDEF和RtADB中，EF=EC=BD,FD=BC=AB,RtDEFRtADB.DE=DA.方法二：如图，取AC中点N，连接BN、MN.ABC是正三角形，BNAC于点N.又EC平面ABC，EC 平面CAE，12平面ACE平面ABC，交
8、线为AC.BN平面ACE.又M、N分别是AE、AC中点,在ACE中，MN CE,又BDCE且2BD=CE,BD CE MN.四边形BDMN是平行四边形,MD BN.DM平面ACE.又AE平面ACE，DMAE于点M.又M是AE中点，DA=DE.(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN EC.又BDEC且EC=2BD,MN DB.N点在平面BDM内.121212学后反思 在求证面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特征.掌握转化思
9、想方法是解决这类问题的关键.EC平面ABC，BN平面ABC，ECBN.ABC为正三角形，BNAC.又ACEC=C,EC平面ACE，AC 平面ACE,BN平面ACE.BN 平面MBN,平面MBN平面ECA，即平面MBD平面ECA.（3）DMBN,BN平面ECA，DM平面ECA.又DM 平面DEA,平面DEA平面ECA.举一反三 3.如图所示，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.求证：ABBC.证明：如图，作AHSB于H，连接EH、AE，平面SAB平面SBC，AH平面SBC,AHBC.又SA平面ABC，SABC.又SAAH=A,SA,AH平面SAB,BC平面SAB.BCAB.
10、题型四 二面角的求法【例4】(14分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)求证:D1EA1D;(2)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为 .(3)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离.4分析 (1)线面垂直的性质;(2)二面角的逆用;(3)根据三棱锥等体积法.解 (1)证明:AE平面AA1D1D,AEA1D.2 又AA1D1D为正方形,A1DAD1,A1D面AD1E,A1DD1E.4(2)过D作DHCE于H,连接D1H、DE,则D1HCE,.5 DHD1为二面角D1ECD的平面角.7 设AE=x,则BE=2-x.在R
11、tD1DH中,DHD1=,DH=1.在RtDAE中,DE=,在RtDHE中,EH=x.在RtDHC中,CH=,在RtCBE中,CE=,.9 当AE=时,二面角D1-EC-D的大小为 .10 42x1354xx232x54xx3x2324(3)设点E到面ACD1的距离为h.在ACD1中,AC=CD1=,AD1=,故SACD1=而SACE=AEBC=,VD1ACE=SACEDD1=SACD1h,.13 1=h,h=.14 学后反思 确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平
12、面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.5223215221312121213131324.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1、O分别为上、下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求证:面O1DC面ABCD;(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,问:点F在何处时,EFAD?(3)若A1AB=60,求二面角C-AA1-B的余弦值的大小.举一反
13、三解析:(1)证明:连接AC、BD、A1C1,则O为 AC、BD的交点,O1为A1C1、B1D1的交点.由平行 六面体的性质可知,A1O1OC,所以四边形 A1OCO1为平行四边形,A1OO1C.又A1O平面ABCD,所以O1C平面ABCD.又O1C平面O1DC,所以平面O1DC平面ABCD.(2)当F为BC的三等分点(靠近B)时,有EFAD.(3)连接A1C,A1B,作BGA1A与A1A交于点G,连接OG,可证OGAA1,则OGB为二面角C-AA1-B的平面角.设AB=1,则OB=,BG=ABsin 60=,AG=.又OA=,所以OG=.在OGB中,利用余弦定理得 2122232221AGO
14、A222321232214143 OG2BGOBOGBGOGBcos222易错警示【例】设平面与平面的交线为l,直线AB在平面内,且ABl,垂足为B,直线CD垂直于平面,且CD平面.求证:AB平面.错解 如图1所示,CD平面,且CD平面,而ABl,ABCD,AB平面.错解分析 错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD平面,得出CDAB,这是没有根据的,犯了论据不足的错误.正解 如图2所示,过CD及平面内任一异于AB的点P作平面,设平面与平面的交线为EF.CD平面,EFCD.CD平面,EF平面,EFl.EF、AB均在平面内,且EF、AB均与l垂直,ABEF.又EF平面,AB平面.考点演练10.如图
15、，在直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，AC=6,BC=8，M是平面ABC外的一点，MC平面ABC，且MC=12,求MD的长.解析：如图，连接CD，MC平面ABC,MD=13.22222222112132MDMCCDACBC11.(2009江苏)如图，在直三棱柱 中，E、F分别是 、的中点，点D在 上，求证：（1）EF平面ABC;(2)平面 平面 .111ABCABC1A B1AC11B C1A D1BC1A FD11BBCC证明：（1）E、F分别是 、的中点，EFBC,EF 平面ABC，BC 平面ABC.EF平面ABC.(2)三棱柱 为直三棱柱,平面 ，,又 ,平面 又 平面 平面 平面
16、 1A B1AC111ABCABC1BB111A B C1BB1A D1A D1BC1A D11BBCC1A D 1A FD11BBCC12.(2010淮安质检)如图，在三棱柱BCEADF中，四边形ABCD是正方形，DF平面ABCD,M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一点.(1)求证:GNAC;(2)若FG=GD，求证:GA平面FMC.证明：(1)连接DN,四边形ABCD是正方形，DNAC.DF平面ABCD,AC平面ABCD,DFAC.又DNDF=D,AC平面DNF.GN平面DNF，GNAC.(2)取DC的中点S，连接AS、GS,G是DF的中点,GSFC,ASCM.又GS,AS平面FMC，FC、CM平面FMC,GS平面FMC，AS平面FMC.而ASGS=S,平面GSA平面FMC.GA 平面GSA,GA平面FMC.
