1、第八节 曲线与方程A组基础对点练1到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是()AyxBy|x|Cx2y20 Dy2x2解析：设动点的坐标为(x，y).因为动点到两坐标轴的距离相等，所以|x|y|，即y2x2，动点的轨迹方程是y2x2.答案：D2(2021江西南昌模拟)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线解析：由已知得|MF|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线答案：D3已知ABC中， A，B的坐标分别为(0，2)和(0，2)，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程
2、是()A1(y0) B1(y0)C1(x0) D1(x0)解析：由题知|AB|4，|CA|CB|6，且6|AB|，所以C点轨迹是以A，B为焦点，6为长轴长，4为焦距的椭圆，去掉长轴端点答案：C4已知点A(1，0)，B(2，4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240解析：可知AB的方程为4x3y40，又|AB|5，设动点C(x，y).由题意可知510，所以4x3y160或4x3y240.答案：B5动圆M经过双曲线x21的左焦点且与直线x2相切，则圆心M的轨迹方程
3、是()Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：双曲线x21的左焦点F(2，0)，则圆心M经过F且与直线x2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y28x.答案：B6已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()Ay21(y1) By21Cy21 Dx21解析：由题意，得|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支双曲线中c7，a1，b248，轨迹方程为y21(
4、y1).答案：A7(2020天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(1，3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A.直线 B椭圆C圆 D双曲线解析：设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3，1)2(1，3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点C的轨迹为直线答案：A8(2020宁夏银川模拟)动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是_解析：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x3，2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x3)24y21.答案：(2x3)24y219
5、设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为_解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因为，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.答案：y24x10已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y).因为P点在
6、圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.化简得(x1)2y21，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，4x2y2(x1)2(y1)2，即x2y2xy10.11(2021河南郑州第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程
7、解析：(1)设点M(x，y)，由题意，得5，即5，化简，得x2y22x2y230，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，此时所截得的线段长度为28，所以l：x2符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，圆心(1，1)到直线l的距离d，由题意，得4252，解得k.所以直线l的方程为xy0，即5x12y460.综上，直线l的方程为x20或5x12y460.B组素养提升练1一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且2，则点P的轨迹方程是_解析
8、：设P(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则a2b236.因为2，所以(xa，y)2(x，by)，所以即代入a2b236，得9x2y236，即1.答案：12已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0).答案：1(y0)3已知过点A(2，0)的直线与x2
9、相交于点C，过点B(2，0)的直线与x2相交于点D，若直线CD与圆x2y24相切，求直线AC与BD的交点M的轨迹方程解析：设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，则直线AC，BD的方程分别为yk1(x2)，yk2(x2)，据此可得C(2，4k1)，D(2，4k2)，则kCDk1k2，直线CD的方程为y4k1(k1k2)(x2)，整理可得(k1k2)xy2(k1k2)0，又直线与圆相切，则2，据此可得k1k2，由于yk1(x2)，yk2(x2)，两式相乘可得y2k1k2(x24)x21，即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为y21(y0).4如图所示，已知圆A：(x2)2y21与点B(2，0)，分
10、别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程(1)PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切，且与直线x1相切(P为动圆圆心).解析：(1)根据题意，知|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a6，2c4，即a3，c2，b.因此其轨迹方程为1(y0).(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a1，2c4，即a，c2，b，因此其轨迹方程为4x2y21.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其轨迹方程为y28x.
