1、第4节直线、平面平行关系的判定与性质 【选题明细表】知识点、方法题号与平行有关的命题判定1、2、3、11直线与平面平行5、7、8、12面面平行4、9、10综合问题6、13、14一、选择题1.平面平面,点A,C,B,D,则ACBD的充要条件是(D)(A)ABCD(B)ADCB(C)AB与CD相交(D)A,B,C,D四点共面解析:充分性:若A,B,C,D四点共面,则由面面平行的性质知,ACBD,反之(即必要性),显然成立,故选D.2.(2013北京海淀区期末)以下命题中真命题的个数是(A)若直线l平行于平面内的无数条直线,则直线l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,b,则a;若直线ab,b,则a
2、平行于平面内的无数条直线.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:对于,l可以在平面内,是假命题;a与可以相交,是假命题;a可以在平面内,是假命题;是真命题.故选A.3.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题:若l与m为异面直线,l,m,则;若,l,m,则lm;若=l,=m,=n,l,则mn.其中真命题的个数为(C)(A)3(B)2(C)1(D)0解析:当异面直线l、m满足l,m时,、也可以相交,故为假命题.若,l,m,则l、m平行或异面,故为假命题.如图所示,设几何体三侧面分别为、.交线l、m、n,若l,则lm,ln,则mn,为真命题.故选C.4.设平面平面,A,B,C是AB的
3、中点,当A、B分别在、内移动时,那么所有的动点C(D)(A)不共面(B)当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面(C)当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面(D)不论A、B如何移动都共面解析:作平面,且平面到平面的距离等于平面到平面的距离,则不论A、B分别在平面、内如何移动,所有的动点C都在平面内,故选D.5.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱AB、CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(D)(A)不存在(B)有1条(C)有2条(D)有无数条解析:平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由公理3知必有过该点的公共线l,在平面ADD1
4、A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行,故选D.6.(2013北京东城区月考)如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是(B)(A)1,(B),(C),(D),解析:取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,可以证明平面A1MN平面AEF,所以点P位于线段MN上.因为A1M=A1N=,MN=,所以当点P位于M,N时,A1P最大,当P位于MN中点O时,A1P最小,此时A1O=,所以A1P,
5、所以线段A1P长度的取值范围是,故选B.二、填空题7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为.解析:如图所示,连接BD与AC交于O点,连接OE,则OEBD1,而OE平面ACE,BD1平面ACE,所以BD1平面ACE.答案:平行8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于.解析:由于EF平面AB1C,则EFAC,E为AD中点,则F必为DC的中点,EF=AC,又AB=2,AC=2.因此EF=.答案:9.(2013吉林市联考)设,是两个不重合的平面,a,b是两条不同的
6、直线,给出下列条件:,都平行于直线a,b;a,b是内的两条直线,且a,b;a与b相交,且都在,外,a,a,b,b.其中可判定的条件是.(填序号)解析:对于,满足条件的,可能相交;对于,当ab时,与可能相交;设a,b确定平面,则,则.答案:10.如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.解析:如图所示,连接AC、A1C1.平面ABCD平面A1B1C1D1,MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点,MNA1C1AC,PQAC,=,又AP=,D
7、P=,PQ=a.答案:a11.、是三个平面,a、b是两条直线,有下列三个条件:a,b;a,b;b,a.如果命题“=a,b,且,则ab”为真命题,则可以在横线处填入的条件是(填上你认为正确的所有序号).解析:a,a,b,=bab(线面平行的性质).如图所示,在正方体中,=a,b,a,b,而a、b异面,故错.b,b,a,a,=aab(线面平行的性质).答案:三、解答题12.如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:AB平面EFGH,ABGF,ABHE,GFHE.同理得FEGH,四边形EFGH是平行四边形.13.(2013兰州一中月考)如
8、图所示,在四棱锥PABCD中,底面是边长为2的菱形,BAD=120且PA平面ABCD,PA=2,M,N分别为PB,PD的中点.(1)证明:MN平面ABCD;(2)设Q为PC的中点,求三棱锥MANQ的体积.(1)证明:因为M,N分别是PB,PD的中点,所以MN是PBD的中位线,所以MNBD.又因为MN平面ABCD,BD平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)因为三棱锥AMNQ的高h=PA=,SMNQ=S菱形ABCD=6=,所以=.14.如图所示,棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形,平面AA1C1C平面ABCD.(1)证明:BDAA1;(2)证明:平面AB1C平面DA1C1;(3)
9、在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?(1)证明:因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.由于平面AA1C1C平面ABCD,平面AA1C1C平面ABCD=AC,所以BD平面AA1C1C,故BDAA1.(2)证明:由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知AB1DC1,A1DB1C,又AB1B1C=B1,A1DDC1=D.故平面AB1C平面DA1C1.(3)解:存在这样的点P.因为A1B1ABDC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1DB1C.在C1C的延长线上取点P,使C1C=CP,连接BP.因为B1BCC1,所以BB1CP,所以四边形BB1CP为平行四边形,则BPB1C,所以BPA1D,而BP平面DA1C1,A1D平面DA1C1,所以BP平面DA1C1.故在C1C的延长线上存在C1C=CP的点P符合题意.
