1、高考资源网() 您身边的高考专家阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知一动圆P与圆O:x2y21外切,而与圆C:x2y26x80内切,则动圆的圆心P的轨迹是()A双曲线的一支 B椭圆C抛物线 D圆解析:选A由题意,知圆C的标准方程为(x3)2y21,则圆C与圆O相离,设动圆P的半径为R.圆P与圆O外切而与圆C内切,R1, 且|PO|R1,|PC|R1.又|OC|3,|PO|PC|2b0)由已知,得A(a,0),B(0,b),F(c,0),则(c,b), (a
2、,b)离心率e,ca,ba,b2ac0,ABF90.8已知双曲线1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.1B.1C.y21 Dx21解析:选D不妨设点A在第一象限,由题意可知c2,点A的坐标为(1,),所以,又c2a2b2,所以a21,b23,故所求双曲线的方程为x21.故选 D.9已知椭圆C:1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:选D因为椭圆的离心率为,所以e,c2a2a2b2,所以b2a2
3、,即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx,代入椭圆方程得1,即1,所以x2b2,xb,y2b2,yb,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为,所以四边形的面积为4bbb216,所以b25,所以椭圆方程为1.10已知|3,A,B分别在y轴和x轴上运动,O为原点,则动点P的轨迹方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21解析:选A设P(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由已知得(x,y)(0,y0)(x0,0),即xx0,yy0,所以x0x,y03y.因为|3,所以xy9,即2(3y)29,化简整理得动点P的轨迹方程是y21.11探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于
4、抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60 cm,灯深40 cm,则抛物线的标准方程可能是()Ay2x By2xCx2y Dx2y解析:选C如果设抛物线的方程为y22px(p0),则抛物线过点(40,30),从而有3022p40,即2p,所以所求抛物线方程为y2x.虽然选项中没有y2x,但C中的2p符合题意12过抛物线C:y24x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为()A. B2C2 D3解析:选C法一:由题意,得F(1,0),则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方,得M(3,2),由MNl,得|MN|MF
5、|314.又NMF等于直线FM的倾斜角,即NMF60,因此MNF是边长为4的等边三角形,所以点M到直线NF的距离为42.法二:依题意,得直线FM的倾斜角为60,则|MN|MF|4.又NMF等于直线FM的倾斜角,即NMF60,因此MNF是边长为4的等边三角形,所以点M到直线NF的距离为42.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13以双曲线1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为_解析:双曲线焦点(4,0),顶点(2,0),故椭圆的焦点为(2,0),顶点(4,0)答案:114设F1,F2为曲线C1:1的焦点,P是曲线C2:y21与C1的一个交点,则PF1F2的面积为_解析:由题意知|F
6、1F2|24,设P点坐标为(x,y)由得则SPF1F2|F1F2|y|4.答案:15已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|10,|AF|6,cosABF,则C的离心率e_.解析:设椭圆的右焦点为F1,在ABF中,由余弦定理可解得|BF|8,所以ABF为直角三角形,又因为斜边AB的中点为O,所以|OF|c5,连接AF1,因为A,B关于原点对称,所以|AF1|BF|8,所以2a14,a7,所以离心率e.答案:16在平面直角坐标系xOy中,双曲线1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A,B两点若|AF|BF|4|OF
7、|,则该双曲线的渐近线方程为_解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|y1,|BF|y2,|OF|,由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p,得y1y2p.联立消去x,得a2y22pb2ya2b20,所以y1y2,所以p,即,故,所以双曲线的渐近线方程为yx.答案:yx三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题10分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为73,求椭圆和双曲线的方程解:焦点在x轴上,设椭圆方
8、程为1(ab0),且c.设双曲线为1(m0,n0),ma4.因为,所以,解得a7,m3.因为椭圆和双曲线的半焦距为,所以b236,n24.所以椭圆方程为1,双曲线方程为1.焦点在y轴上,椭圆方程为1,双曲线方程为1.18(本小题12分)已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若,求的值解:(1)直线AB的方程是y2,与y22px联立,从而有4x25pxp20,所以x1x2.由抛物线定义得:|AB|x1x2p9,所以p4,从而抛物线方程是y28x.
9、(2)由p4,4x25pxp20可简化为x25x40.从而x11,x24,y12,y24,从而A(1,2),B(4,4)设(x3,y3)(1,2)(4,4)(41,42),又y8x3,即2(21)28(41),即(21)241,解得0或2.19(本小题12分)如图所示,F1,F2分别为椭圆C:1(ab0)的左、右两个焦点,A,B为两个顶点,已知椭圆C上的点到F1,F2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P,Q两点,求F1PQ的面积解:(1)由题设知,2a4,即a2,将点代入椭圆方程得1,解得b23,故椭圆方程为1.(2)由(1)知A(2,0)
10、,B(0,),所以kPQkAB,所以PQ所在直线方程为y(x1),由得8y24y90,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2,y1y2,所以|y1y2|,所以SF1PQ|F1F2|y1y2|2.20(本小题12分)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为x1,F是焦点,过点A(2,0)的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,直线PF,QF分别交抛物线于点M,N.(1)求抛物线的方程及y1y2的值;(2)证明:若直线PQ,MN的斜率都存在,记直线PQ,MN的斜率分别为k1,k2,证明: 为定值解:(1)依题意,设抛物线方程为y22px(p0),由准线x1,得p2,所以抛物线
11、方程为y24x.由题意,设直线PQ的方程为xmy2,代入y24x.消去x,整理得y24my80,从而y1y28.(2)设M(x3,y3),N(x4, y4),则.设直线PM的方程为xny1,代入y24x,消去x,整理得y24ny40,所以y1y34,同理y2y44.故,为定值21(本小题12分)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,过点A(0,b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)直线ykxm(km0)与该双曲线C交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求m的取值范围解:(1)y21.(2)消去y得,(13k2)x26kmx3m230,
12、由已知,13k20且12(m213k2)0m213k2.设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点P(x0,y0),则x0,y0kx0m,因为APCD,所以kAP,整理得3k24m1.联立得m24m0,所以m0或m4,又3k24m10,所以m,因此m0或m4.故m的取值范围为(4,)22(本小题12分)已知抛物线C1:x24y的焦点F也是椭圆C1:1(ab0)的一个焦点C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向(1)求C2的方程;(2)若|AC|BD|,求直线l的斜率解:(1)由C1:x24y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F 也
13、是椭圆C2的一个焦点,所以a2b21.又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x24y,由此可知C1与C2的公共点的坐标为,所以1.联立得a29,b28,故C2的方程为1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因与同向,且|AC|BD|,所以,从而x3x1x4x2,即x3x4x1x2,于是(x3x4)24x3x4(x1x2)24x1x2.设直线l的斜率为k,则l的方程为ykx1,由得x24kx40,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1x24k,x1x24,由得(98k2)x216kx640,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3x4,x3x4,将、代入,得16(k21).即16(k21),所以(98k2)2169,解得k,即直线l的斜率为高考资源网版权所有,侵权必究!