1、课时作业12椭圆的简单几何性质(二)基础巩固1点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()AaBaC2a2 D1a1解析：由1得a22，ab0)过点(0,4)离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：(1)将(0,4)代入C的方程得1，得b4.又e，得，即1，所以a5.故椭圆C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入椭圆C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2，于是，线段AB的中点坐标为，(x1x26)，故所求线段的中点为(，)能
2、力提升1直线l：ykx1(k0)，椭圆E：1(ab0)若直线l被椭圆E所截弦长为d，则下列直线中被椭圆E所截弦长不是d的直线是()Akxy10 Bkxy10Ckxy10 Dkxy0解析：因为A、B、C三个选项分别是直线l关于x轴、原点、y轴的对称直线，又椭圆E关于x轴、原点、y轴都对称，所以A、B、C三个选项所表示的直线被椭圆E所截弦长都是d.故选D.答案：D2B1、B2是椭圆短轴的两个端点，O为椭圆的中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是()A. B.C. D.解析：依题意|F1B2|2|OF1|B1B2|，b2c22bcbca
3、，将xc代入椭圆方程求得|PF1|，选B.答案：B3(2018年高考课标全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为 ()A. B.C. D.解析：由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图1所示，设|F1F2|2c，图1PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，点P坐标为(c2ccos60，2csin60)，即点P(2c，c)点P在过点A，且斜率为的直线上，解得，e，故选D.答案：D4已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分
4、别为A，B，线段MN中的点在C上，则|AN|BN|_.解析：由题意可作图2：图2连结F1P、F2P易得|F1P|AN|F2P|BN|AN|BN|2(|F1P|F2P|)根据椭圆定义于得|F1P|F2P|236|AN|BN|12.答案：125如果椭圆1上的弦被点A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是_解析：设直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则1，1，作差得，kMN.直线MN的方程为y2(x4)即x2y80.答案：x2y806已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosOFA，则椭圆的方程为_解析：，b2a2c25，有两
5、种情况答案：1或17如图3，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_图3解析：由题意得F(c,0)，直线y与椭圆方程联立可得B，C，由BFC90，可得0，则c2a2b20，由b2a2c2可得c2a2，则e.答案：8.如图4，椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.图4(1)求椭圆E的方程；(2)求F1AF2的角平分线所在直线的方程解：(1)设椭圆E的方程为1，由e，即，a2c，得b2a2c23c2.椭圆方程具有形式1.将A(2,3)代入上式，得1，解得c2.椭圆E的方程为1.(2)
6、由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，所以直线AF1的方程为：y(x2)，即3x4y60.直线AF2的方程为：x2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数. 设P(x，y) 为l上任一点，则|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由3x4y65x10得2xy10，所以直线l的方程为：2xy10.图59(2017年高考江苏卷)如图5，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准
7、方程；(2)若直线l1、l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标解：(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此椭圆E的标准方程是1.(2)由(1)知，F1(1,0)，F2(1,0)设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x00，y00.当x01时，l2与l1相交于F1，与题设不符当x01时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1PF1，l2PF2，所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，从而直线l1的方程：y(x1)，直线l2的方程：y(x1)由，解得xx0，y，所以Q(x0，)因为点Q在椭圆上，由对称性，得y0，即x
8、y1或xy1.又P在椭圆E上，故1.由解得x0，y0；无解因此点P的坐标为(，)创新拓展1已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.图6(1)求椭圆E的离心率；(2)如图6，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2
9、)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.2设A、B是椭圆3x2y2上的两点，点N(1,3)是线段AB的中点(1)确定的取值范围，使直线AB存在，并求直线AB的方程(2)线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点，求线段CD的中点M的坐标(3)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由解：(1)依题意，可设直线AB的方程为yk(x1)3，代入3x2y2，整理得(k23)x22k(k3
10、)x(k3)20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个不同的根，4(k23)3(k3)20.且x1x2，由N(1,3)是线段AB的中点，得1，k(k3)k23解得k1，代入得12，即的取值范围是(12，)，直线AB的方程为y3(x1)，即xy40.(2)CD垂直平分AB，直线CD的方程为y3x1，即xy20，代入椭圆方程，整理得4x24x40又设C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点M(x0，y0)，则x3，x4是方程的两根，x3x41，且x0(x3x4)，y0x02，即M(，)(3)由弦长公式可得|CD|x1x2|将直线AB的方程xy40，代入椭圆方程得4x28x160同理可得|AB|当12时，|AB|12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心，点M到直线AB的距离为d于是由、式和勾股定理可得|MA|2|MB|2d2|2|2，故当12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，|为半径的圆上
