1、第2节参数方程 【选题明细表】知识点、方法题号参数方程与普通方程互化1参数方程及其应用2,3极坐标方程与参数方程的综合41.(2016张掖模拟)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知P点的极坐标为(4,),曲线C的极坐标方程为2+4sin =4.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;(2)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最大值.解:(1)已知P点的极坐标为(4,),所以x=cos =6,y=sin =2,所以点P的直角坐标为(6,2).由2+4sin =4,得x2+y2+4y=4,即x2+(y+2)2=16,所以曲线C的
2、直角坐标方程为x2+(y+2)2=16.(2)由l:(t为参数)可得直线l的普通方程为x-y-5=0,由曲线C的直角坐标方程x2+(y+2)2=16,可设点Q(4cos ,4sin -2),所以点M坐标为(2cos +3,2sin ),所以点M到直线l的距离d=.当cos (+)=-1时,d取得最大值2+,所以点M到直线l距离的最大值为2+.2.(2016贵阳一测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程是=1.(1)求直线l与圆C的公共点个数;(2)在平面直角坐标系中,圆C经过伸缩变换得到曲线C,设
3、M(x,y)为曲线C上一点,求4x2+xy+y2的最大值,并求相应点M的坐标.解:(1)直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程是x-y-=0,圆C的极坐标方程=1化为直角坐标方程是x2+y2=1.因为圆心(0,0)到直线l的距离为d=1,等于圆的半径r,所以直线l与圆C的公共点的个数是1.(2)圆C的参数方程是(02),所以曲线C的参数方程是(00,sin cos 0.又0,),所以(0, ),所以t1+t2=-4(sin +cos ),t1t2=4.所以t10,t20.所以|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin +cos )=4sin (+),由(0, )可得(
4、+)(,),所以sin(+)1,所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4.4.(2016银川模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),当t=1时,曲线C1上的点为A,当t=-1时,曲线C1上的点为B.以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=.(1)求A,B的极坐标;(2)设M是曲线C2上的动点,求|MA|2+|MB|2的最大值.解:(1)当t=1时,代入参数方程可得即A(-1,),所以=2,tan =-,所以=,所以点A的极坐标为(2, ).当t=-1时,同理可得B(1,-),点B的极坐标为(2, ).(2)由=,化为2(4+5sin2)=36,所以42+5(sin )2=36,化为4(x2+y2)+5y2=36,化为+=1,设曲线C2上的动点M(3cos ,2sin ),则|MA|2+|MB|2=(3cos +1)2+(2sin -)2+(3cos -1)2+(2sin +)2=18cos2+8sin2+8=10cos2+1626,当cos =1 时,取得最大值26.所以|MA|2+|MB|2 的最大值是26.
