1、第九章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识梳 理 诊 断 1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2.当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.k1k2(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2.k1k212两条直
2、线的交点的求法直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1与 l2 的交点坐标就是方程组的解3距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离d 平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离d|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B21判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()
3、(4)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(2016大连测试)已知过点 A(2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2xy10 平行，则实数 m 的值为()A0B8C2D10解析 由题意知4mm22，解得 m8.答案 B3a1 是直线 yax1 和直线 y(a2)x1 垂直的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 当 a1 时，yx1 与 yx1
4、互相垂直，若两直线垂直，则 a(a2)1，即 a22a10，得 a1，a1 是两直线 yax1与 y(a2)x1 垂直的充要条件答案 C4经过两条直线 3x4y50 和 3x4y130 的交点，且斜率为 2 的直线方程是()A2xy70B2xy70C2xy70D2xy70解析 由3x4y50，3x4y130得x3，y1，即两直线的交点坐标为(3，1)，则所求直线方程为 y12(x3)，即2xy70.故选 B.答案 B5光线自点 M(2,3)射到 N(1,0)后被 x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为()Ay3x3By3x3Cy3x3Dy3x3解析 点 M 关于 x 轴的对称点 M(2，3)，
5、则反射光线即在直线 NM上，由 y030 x121，y3x3，故选 B.答案 B6直线 2x2y10，xy20 之间的距离是_解析 先将 2x2y10 化为 xy120，则两平行线间的距离为 d21223 24.答案 3 24考 点题 型 突 破 考点一 两直线的平行与垂直自练型 (1)(2016衡水中学一调)直线 l1：(3a)x4y53a 和直线 l2：2x(5a)y8 平行，则 a()A7 或1B7C7 或 1D1(2)(2016德州模拟)过点(1,0)，且与直线 x2y20 垂直的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20Dx2y10(3)(2016浙江建人高复第三次月考)已知
6、直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，若 l1l2，则 m_；若 l1l2，则 m_.(4)过两直线 2xy50 和 xy20 的交点且与直线3xy10 平行的直线方程为_解析(1)由题意，得3a5a240，3a8253a0，解得 a7.故选 B.(2)因为直线 x2y20 的斜率为12，所以所求直线的斜率 k2.所以所求直线的方程为 y02(x1)，即 2xy20.(3)若 l1l2，则 1(m2)3m0，m12；若 l1l2，则 3m(m2)0 且 2m6(m2)0，m1.(4)联立 2xy50 和 xy20，得交点 P(1，3)设过点 P 且与直线 3xy10 平行的直线方
7、程为 3xym0.把点 P 代入即可得 m.答案(1)B(2)C(3)12 1(4)3xy0(1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线 l1l2k1k2，b1b2，l1l2 的充要条件是 k1k21.(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2 的必要不充分条件是 A1B2A2B1；l1l2A1A2B1B20.考点二 距离问题互动型 (1)过点 P(2，1)且与原点距离为 2 的直线方程为_(2)若直线 4x3y50 与直线 4xay60 平行，则它们之间的距离为_解析(1)当 l 的斜率 k 不存在时显然成立，l
8、的方程为 x2；当 l 的斜率 k 存在时，设 l：y1k(x2)，即 kxy2k10.由点到直线距离公式得|2k1|1k2 2，k34，l：3x4y100.故所求 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)由两直线平行得 a3，由两平行直线间距离公式，得d|56|4232115.答案(1)x2 或 3x4y100(2)115拓展探究(1)本例(1)改为“已知直线 l 过点 P(3，4)且与点 A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线 l 的方程为_”(2)本例(2)中的直线 4xay60 改为直线 8xay60，其他条件不变，结果如何？解析(1)显然直线 l 斜率不存在时，不满足题意；设
9、所求直线方程为 y4k(x3)，即 kxy43k0，由已知，得|2k243k|1k2|4k243k|1k2，k2 或 k23.所求直线 l 的方程为 2xy20 或 2x3y180.(2)直线 4x3y50 与直线 8xay60 平行，483a，得 a6.故直线 8x6y60 方程化为 4x3y30.两平行直线间的距离 d|53|423285.答案(1)2x3y180 或 2xy20(2)85公式法求距离应注意以下两点(1)求点到直线距离时，直线方程一定化成 AxByC0的形式(2)求两平行线间的距离时，一定化成 l1：AxByC10，l2：AxByC20 的形式1过点 P(3，1)引直线，使
10、点 A(2，3)，B(4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为_解析 若直线的斜率不存在，则其方程为 x3，满足条件；若直线的斜率存在，设其方程为 y1k(x3)，即 kxy3k10，由题意得|2k33k1|k21|4k53k1|k21解得 k4，此时直线方程为 4xy130，综上，直线的方程为 x3 或 4xy130.答案 x3 或 4xy1302已知 l1，l2 是分别经过 A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是_解析 当直线 AB 与 l1，l2 垂直时，l1，l2 间的距离最大因为 A(1,1)，B(0，1)，所以 kAB1
11、101 2，所以两平行直线的斜率 k12，所以直线 l1 的方程是 y112(x1)，即x2y30.答案 x2y30考点三 对称问题共研型 角度 1：点关于点的对称 过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l的方程为_解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40.答案 x4y40角度 2：点关于直线的对称 已知直线 l：
12、2x3y10，点 A(1，2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标为_解析 设 A(x，y)，由已知得y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y 413，故 A3313，413.答案 3313，413角度 3：直线关于直线的对称 已知直线 l：xy10，l1：2xy20.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的方程是()Ax2y10Bx2y10Cxy10Dx2y10解析 由xy10，2xy20，得交点(1,0)，取 l1 上的点(0，2)，其关于直线 l 的对称点为(1，1)，故直线 l2 的方程为 y010 x111，即 x2y10，故选 B.答案 B对称问
13、题的关注点(1)点关于点的对称问题利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2ma,2nb)(2)点关于线的对称点点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)(3)线关于线的对称线一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称(4)中心对称的关键点是中点坐标公式；轴对称的关键点是垂直平分1角度 1直线 l：4x3y20 关于点 A(1,1)对称的直线方程为()A4x3y40B4x3y120C4x3y40D4x3y120解析 在所求直线上任取一点 P(x，y)，则点 P 关于点A 对
14、称的点 P(x，y)必在直线 l 上由xx2，yy2，得 P(2x,2y)，所以 4(2x)3(2y)20，即 4x3x120.故选 B.答案 B2角度 2一条光线沿直线 2xy20 入射到直线 xy50 后反射，则反射光线所在直线方程为_解析 取直线 2xy20 上一点(0,2)，设点(0,2)关于直线 xy50 的对称点是 B(a，b)，则a2b2250，b2a1，解得a3，b5，所以 B(3,5)联立方程2xy20，xy50，解得x1，y4.所以直线 2xy20 与 xy50 的交点为 P(1,4)所以反射光线所在直线的方程为 x2y70.答案 x2y703角度 3与直线 l1：y2x3
15、 关于直线 l：yx1 对称的直线 l2 的方程为_解析 由y2x3，yx1，解得直线 l1 与 l 的交点坐标为(2，1)又易知直线 l2 的斜率存在，故可设直线 l2 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.在直线 l 上任取一点(1,2)，由题可知点(1,2)到直线 l1，l2 的距离相等，所以由点到直线的距离公式得|k22k1|k21|223|221，解得 k12(k2 舍去)，故直线 l2 的方程为 x2y0.答案 x2y0课 堂归 纳 小 结 方法技巧易错点睛1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1
16、k21.2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称3光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称.1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑2使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时一定要注意先把两直线方程中的x，y 的系数化成相等.名 师微 课 导 学 课题 45：直线系方程及应用名师导学：所
17、谓直线系方程，是指满足某种特征的直线方程的全体，有时又称直线束方程在解决直线方程问题时，若能巧妙地运用直线系方程的有关结论，有时可以收到事半功倍之效果1过定点的直线系 直线 mxym10(m 为参数)经过定点的坐标为_切入点 将含有参数的项合并在一起观察关键点 对直线系方程的理解：每一个 m 值都对应一条直线采用恒等式法或特殊直线法求解解析 解法一：(恒等式法)直线方程化为 m(x1)y10，由x10，y10，得 x1，y1.故直线 mxym10过定点(1,1)解法二：(特殊直线法)取 m0，得 y1，取 m1，得 xy20，由得 x1，y1.故直线 mxym10 过定点(1,1)答案(1,1
18、)(1)过定点(x0，y0)的直线系方程为 yy0k(xx0)(k 为直线的斜率)或 A(xx0)B(yy0)0(A、B 不同时为 0)(2)求直线系过定点问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于 x，y 的方程组求出定点坐标特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点1直线(m1)x(m3)y(m11)0(m 为参数)恒过定点的坐标为_解析 解法一：将方程变为x3y11m(xy1)0，由x3y110，xy10，得x72，y52，故直线恒过定点72，52.解法二：分别令 m1，m3，得4y100，4x140，所以 x72，y52，故
19、直线恒过定点72，52.答案 72，522过两直线交点的直线系 过直线 x2y10 与直线 2xy10 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_切入点 设出直线系方程，求出参数即可解析 设所求直线方程为 x2y1(2xy1)0，当直线过原点时，10，得 1，此时所求直线方程为x2y0；当直线不过原点时，令 x0，得 y12，令 y0，得 x 121.由题意得，12 121，解得 13或 1(舍)此时所求直线方程为 5x5y40.综上所述，所求直线方程为 x2y0 或 5x5y40.答案 x2y0 或 5x5y40过直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20交点的直线
20、系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数)，其中不包括直线 l2.2过直线 x2y40 和直线 xy20 的交点，且与直线 3x4y50 垂直的直线方程为_解析 设所求直线方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y(42)0，则其斜率 k12，由题意可知，12341，得 11.故所求直线方程为 4x3y60.答案 4x3y603平行直线系 过点(1,2)与直线 3x4y10 平行的直线方程为_切入点 设出平行直线系方程求解解析 设所求直线方程为 3x4y0，代入(1,2)得 11，故所求直线方程为 3x4y110.答案 3x4y110斜率为 k 的平行直线系为 ykxb；与
21、直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxBy0，其中 为参数(C)3与直线 x2y30 平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线方程是_解析 设所求直线方程为 x2y0，令 x0，得 y2；令 y0，得 x.由题意，得122|4，解得 4.故所求直线方程为 x2y40.答案 x2y404垂直直线系 与直线 2x3y10 垂直，且在 x 轴上的截距为2 的直线方程是_切入点 设出垂直直线系方程求解解析 设所求直线的方程为 3x2y0，令 y0，得 x3.由32，得 6.故所求直线方程为 3x2y60.答案 3x2y60与直线 AxByC0 垂直的直线系为 BxAy0(为参数)4经过 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程为_解析 因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有 221C10，解得 C10，即所求直线方程为 x2y0.答案 x2y0请做：课时跟踪训练（四十五）