1、山东省泰安市2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列有关不等式的推理（1） （2）（3） （4）其中，正确推理的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质，对选项进行一一判断，即可得到答案.【详解】对（1），满足不等式的传递性，故（1）正确；对（2），满足不等式的可加性，故（2）正确；对（3），不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，故（3）正确；对（4），只有当两个数都是正数的时候，才能成立，故（4）错误.故选：D
2、.【点睛】本题考查不等式的性质，考查对概念的理解，属于基础题.2.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析】解一元二次方程，再利用集合间的关系进行判断，即可得到答案.【详解】，“或”，“或”推不出“”，而后面可以推前面，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查简易逻辑的知识，求解时注意将问题转化为集合之间的关系.3.已知抛物线的焦点为，是上一点，则（ ）A. 4B. 2C. 1D. 8【答案】C【解析】点A到抛物线的准线：的距离为：，利用抛物线的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.4
3、.若成等比数列，成等差数列，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比中项和等差中项的性质，可分别求得、的值，进而得到答案.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查等比中项和等差中项的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意判断.5.如图，底面是平行四边形的棱柱，是上底面的中心，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，以为基底，利用空间向量基本定理，将表示出来.【详解】.故选：B【点睛】本题考查空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，考查运算求解能力，求解时注意基底的选择
4、.6.等比数列中，则数列的前项和的最大值为（ ）A. 15B. 10C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得求出首项与公比的值，可得等比数列的通项，从而可得，可判断第七项以后的每一项都是负数，可得前项或前5项和最大，从而可得结果.【详解】设首项为，公比为，则，即第七项以后的每一项都是负数，所以前项或前5项和最大，最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式基本量的运算以及等差数列的性质，属于中档题.求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：将前项和表示成关于的二次函数，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；可根据且确定最大时的值.7.已知，且，则的最大
5、值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将等式化成，再利用基本不等式求最大值.【详解】，等号成立当且仅当.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，求解时注意“1”的代换.8.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）A. 90B. 75C. 60D. 45【答案】A【解析】【分析】将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结，则异面直线与所成的角，再利用勾股定理进行求解.【详解】如图所示，将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结，异面直线与所成的角，设，则，.故选：A.【点睛】本题考查与所成角的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空
6、间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用.9.数列满足，且，若，则的最小值为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】依题意，得，可判断出数列2nan为公差是1的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为2，从而可得an=，继而可得答案【详解】，即，数列2nan为公差是1的等差数列，又a1=1，21a1=2，即其首项为2，2nan=2+（n1）1=n+1，an=a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=，若，则n的最小值为5，故选C【点睛】本题考查数列递推式，判断出数列2nan为公差是1的等差数列，并求得an=是关键，考查分析应用能力属于中档题10.椭圆的焦距
7、为，过点作圆的两条切线，切点分别为.若椭圆离心率的取值范围为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得，利用直角三角形中正弦函数的定义可得，利用离心率的取值范围，求得，即可得答案.【详解】在直角三角形中，.故选：D.【点睛】本题考查圆的切线、椭圆的准线方程，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.11.已知函数，若，使得恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得：，利用函数的单调性分别求得，代入不等式即可求得答案.【详解】由题意得：，对恒成立，在单调递减，；在单调递增，.故选：C.
8、【点睛】本题考查简易逻辑中“任意”问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.12.过双曲线的右焦点且平行于其一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，直线与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用几何法先分析出的坐标，代入方程即可【详解】由图像，利用几何关系解得，因为，利用向量的坐标解得，点在双曲线上，故，故答案为C.【点睛】利用几何中的线量关系，建立的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题p：“”，则为_.【答
9、案】。【解析】【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题，即可得答案.【详解】命题p：“”，为.故答案为：.【点睛】本题考查特称命题的否定，考查对概念的理解，求解时注意存在要改成任意.14.设向量，且，则_.【答案】9.【解析】【分析】根据向量平行其坐标成比例，从而得到方程，解方程即可得到答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量平行的坐标运算，属于基础题.15.关于x的不等式的解集为，且，则_.【答案】2.【解析】【分析】解一元二次不等式得到解集为，从而得到的值，再带入方程，即可得答案.【详解】，又，.故答案为：.【点睛】本题考查已知一元二次不等式的解集求参数的值，考查函数与方程思
10、想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.16.若双曲线的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，已知，则的最小值是_.【答案】9.【解析】【分析】设双曲线的右焦点，则，再利用双曲线的定义，三角形的两边之差小于第三边，即可得答案.【详解】设双曲线的右焦点，则，等号成立当且仅当共线.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义、三角形的两边之差小于第三边，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，求解时注意利用定义进行转化问题.三、解答题：本题共6个小题，共0分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知，.（1）判断是p是q什么条件；（2）如果q是r的充要条件，求a的值.【答
11、案】（1）p是q的充分不必要条件；（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，将问题转化为集合之间的关系；（2）将充要条件转化为两个集合相等，即可求得的值.【详解】（1）因为，整理得，解方程，得两根，所以的解集为. 因为，所以p是q的充分不必要条件.（2）因为q是r充要条件，所以不等式的解集是. 因此，是方程的两根，由方程根与系数的关系（即韦达定理）得：，解得.【点睛】本题考查充分不必要条件、充要条件的应用，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系，属于基础题.18.已知等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设等比数列满足，求数列前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】
12、【分析】（1）利用基本量法，求出等差数列的首项和公差，即可求得通项公式；（2）求出等比数列，再利用错位相减法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以.又因为，所以，解得.所以（2）设等比数列的公差为q，因为，所以，所以从而.，由-得： 所以.【点睛】本题考查等差数列中基本量运算、错位相减法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.19.已知抛物线，其准线方程为.准线与x轴的交点为M，过M点做直线l交抛物线于A、B两点.若点A为中点，求直线l的方程.【答案】或.【解析】【分析】设直线l的方程为，将直线方程代入抛物线的方程，利用韦达定理和中点坐标公式，求得的值，即可求
13、出直线方程.【详解】抛物线的准线方程为，抛物线的方程为. 显然，直线l与坐标轴不平行，且.设直线l方程为，. 联立直线与抛物线的方程，得. ，解得或.点A为的中点，即，解得 ，或.直线方程为或【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、中点坐标公式、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20.如图，在三棱柱中，平面，.（1）求证：平面，并求的长度；（2）若M为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，即可证得结论；进而可求出的长度；（2）如图所示，分别以所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则，
14、求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量，带入向量的夹角公式，即可得答案.【详解】（1）平面，平面，平面，平面又，. （2）如图所示，分别以所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则，易知，设平面的一个法向量为，即，令，得，易知为平面的一个法向量则，由题意知：二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.21.销售甲种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式；销售乙种商品所得利润是万元，它与投入资金万元的关系有经验公式，其中，为常数现将3万元资金全部
15、投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元，若将3万元资金中的万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为万元（1）求函数的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值【答案】（1），；（2）故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资为1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元【解析】【分析】（1）因为对甲种商品投资万元，所以对乙种商品投资为万元，由题意知：，代值计算即可（2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题【详解】解：（1）因为对
16、甲种商品投资万元，所以对乙种商品投资为万元由题意知：，当时，当时，则，解得，则，（2）由（1）可得，当且仅当时取等号，故对甲种商品投资2万元，所以对乙种商品投资为1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题需要对知识熟练的掌握并应用，属于中档题22.如图，分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，.椭圆E经过点.（1）求椭圆E的方程；（2）若B、C是椭圆E上两个动点，直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值.【答案】（1）；（2）该定值为，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线的方程为，将直线的斜率表示成关于的表达式，从而得到定值.【详解】（1）， 因为在椭圆上，所以 解得，（舍去），椭圆方程为；（2）设直线的方程为，代入得， 设，因为点在椭圆上， 又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代k，可得， 直线的斜率直线的斜率为定值，该定值为.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法、定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.
