1、1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一（本题满分6分）将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：1有理数范围;2.实数范围;3.复数范围解：1.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x2-3y2).2.x5y-9xy5=xy(x2+3y2)(x+y)(x-y).3.x5y-9xy5=xy(x+yi)(x-yi)(x+y)(x-y).二（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形 O3 3 3 1 2 O1 O2 1 2 证：设O1O2O3的半径为1、2、3因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3， O2O3=2+3=
2、5，O1O3=1+3=4，则有O1O22 + O1O32=32+42=52= O2O32根据勾股定理的逆定理，O1O2O3为直角三角形三（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点证：取ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有0,b0 Y A(0,) E D B(b,0) O C(c,0) X AB的方程为，其斜率为AC的方程为，其斜率为高线CE的方程为高线BD的方程为解（1）、（2），得：（b-c)x=0b-c0x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上
3、因此，三条高线交于一点四（本题满分10分）证明对数换底公式：解：见课本五（本题满分10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB P N M B A L 证：用反证法假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设矛盾，所以平面N与平面M相交设平面N与平面M的交线为LPA平面M，PAL又PB平面N，PBLL平面PAB，LAB六（本题满分12分）设三角函数其中k01写出f(x)极大值M、极小值m与最小正周期;2试求最小的正整数k，使得当
4、自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m解：1.M=1，m=-1，2.f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m而任意两个整数间的距离都1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f(x)的周期1即：可见，k=32就是这样的最小正整数七（本题满分14分）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知ACD、CBD、ABC的面积成等比数列，求B（用反三角函数表示） C A D B 解：设CD=h，AB=c，BD=x，则 AD=c-x因此，ACD的面积为，CBD的面积为，ABC的面积为，依题意， 取负号不
5、合题意，取正号，得又依直角三角形的性质，有AC2=ADAB=c(c-x). 但 x2=c(c-x)AC2=x2 AC=x=DB=在直角三角形ABC中，故 八（本题满分14分）已知0，证明：并讨论为何值时等号成立解：即证：两端乘以sin，问题化为证明2sinsin21+cos.而 2sinsin2=4sincos2=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos所以问题又化为证明不等式 (1+cos)4(1-cos)cos-10（1+cos)0 不等式得证0,等号成立当且仅当cos-=0 即=600九（本题满分18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动
6、问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P（x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）解：设圆的方程为（x-k)2+y2=1 再设圆与抛物线的一个交点为P（x0,y0)在P点圆半径的斜率=. Y y=2x2 P(x0,y0) K(K,0) O X 在P点抛物线的切线斜率=在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切因P（x0 ,y0)是圆与抛物线的交点，y02=2x0 , (2)(x0-k)2+y02=1. (3)由（1）、（2）式消去y0 ,得x0=-k,将（2）代入（3），得(x0-k)2+2x0-1=0,将x
7、0=-k代入，得4k2-2k-1=0，由于抛物线在y轴的右方，所以k=-x00故根号前应取负号，即故所求圆的方程为由对称性，圆与抛物线的另一交点（x0 ,-y0)处的切线也互相垂直附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（是参数）问、b应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点解：消去参数，得（L）：（E）：消去y，整理得（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式0，即化简并约去2得对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件（注：也可数形结合，由点P（0，b）在椭圆（E）内或（E）上求解）