1、命题及其关系、充分条件与必要条件授课提示：对应学生用书第267页A组基础保分练1.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（）A.逆命题B.否命题C.逆否命题 D.否定解析：命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.答案：B2.如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：设集合A（x，y）|xy，B（x，y）|cos xcos y，则A的补集C（x，y）|xy，B的补集D（x，y）|cos x
2、cos y，显然CD，所以BA.于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件.答案：C3.（2021九江模拟）原命题“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A.0 B.1C.2 D.4解析：当c0时，ac2bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，cR，若ac2bc2，则ab”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题.综上所述，真命题有2个.答案：C4.（2021西安模拟）若a，b都是正整数，则abab成立的充要条件是（）A.ab1 B.a，b
3、至少有一个为1C.ab2 D.a1且b1解析：因为abab，所以（a1）（b1）1.因为a，bN，所以（a1）（b1）N，所以（a1）（b1）0，所以a1或b1.答案：B5.a，b是单位向量，“（ab）22”是“a，b的夹角为钝角”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：（ab）2a22abb222ab2ab0，当ab0时，a，b的夹角为钝角或平角；当a，b的夹角为钝角时，ab0成立.所以“（ab）22”是“a，b的夹角为钝角”的必要而不充分条件.答案：C6.命题“任意x1，3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.a9 B.a9C.a
4、10 D.a10解析：命题“任意x1，3，x2a0”“任意x1，3，x2a”a9.则a10是命题“任意x1，3，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件.答案：C7.下列命题：“若ab，则ab”的否命题；“若a1，则ax2x30的解集为R”的逆否命题；“周长相同的圆面积相等”的逆命题；“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中真命题的序号为（）A. B.C. D.解析：对于，逆命题为真，故否命题为真；对于，原命题为真，故逆否命题为真；对于，“面积相等的圆周长相同”为真；对于，“若x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假.答案：B8.（2021玉溪模拟）不等式x0成立的一个充
5、分不必要条件是（）A.1x0或x1 B.x1或0x1C.x1 D.x1解析：由x0可知0，即或解得x1或1x0，不等式x0的解集为x|x1或1x0，故不等式x0成立的一个充分不必要条件是x1.答案：D9.在ABC中，“AB”是“tan Atan B”的条件.解析：由AB，得tan Atan B，反之，若tan Atan B，则ABk，kZ.因为0A，0B，所以AB，故“AB”是“tan Atan B”的充要条件.答案：充要10.若“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为_.解析：由x2x60，解得x2或x3.因为“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，所以x|xa是x|x2或
6、x3的真子集，即a3，故a的最小值为3.答案：3B组能力提升练1.（2021咸阳模拟）已知p：m1，q：直线xy0与直线xm2y0互相垂直，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：由题意得直线xm2y0的斜率是1，所以1，m1.所以p是q的充分不必要条件.答案：A2.使a0，b0成立的一个必要不充分条件是（）A.ab0 B.ab0C.ab1 D.1解析：因为a0，b0ab0，反之不成立，而由a0，b0不能推出ab0，ab1，1.答案：A3.（2021贵阳模拟）设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的（）A.充分不必要条件
7、 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：因为|a3b|3ab|，所以（a3b）2（3ab）2，所以a26ab9b29a26abb2，又因为|a|b|1，所以ab0，所以ab；反之也成立.答案：C4.已知圆C：（x1）2y2r2（r0），设p：0r3，q：圆上至多有两个点到直线xy30的距离为1，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：对于q，圆（x1）2y2r2（r0）上至多有两个点到直线xy30的距离为1，又圆心（1，0）到直线的距离d2，则r213，所以0r3，又p：0r3，所以p是q的必要不充分条件.答案：B
8、5.（2021唐山模拟）若“x22x80”是“xm”的必要不充分条件，则m的最大值为_.解析：由x22x80，得x2或x4，若由xm能得出x2或x4，则m2，即m的最大值为2.答案：26.集合A，Bx|xb|a.若“a1”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是_.解析：由“a1”是“AB”的充分条件，知当a1时，AB.当a1时，由题意得A（1，1），B（b1，b1），由AB得1b11或1b11，即2b2，所以b的取值范围是（2，2）.答案：（2，2）C组创新应用练1.（2021武汉模拟）若x2m23是1x4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A.3，3B.（，33，）C.（，11，）
9、D.1，1解析：x2m23是1x4的必要不充分条件，（1，4）（2m23，），2m231，解得1m1.答案：D2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即非q是非p的充分不必要条件，故p是q的充分不必要条件.答案：A3.A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是（）A.若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B.若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分.答案：C
