1、第4课时函数的奇偶性及周期性一、 填空题1. 已知奇函数f(x)的定义域为(2a，a23)，则a_答案：3解析：(2a)(a23)0，且得a3.2. 若函数f(x)在1，1上是奇函数，则f(x)的解析式为_答案：f(x)解析： f(x)f(x)， f(0)f(0)，f(0)0， 0， a0，即f(x).f(1)f(1)，即， b0. f(x).3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则f(x)的解析式为f(x)_答案：x(|x|2)解析：设x0，则x0， 当x0时，f(x)x22x， f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)是奇函数， f(x)f(x)，
2、f(x)(x22x)， f(x)即f(x)x(|x|2)(xR)4. 设f(x)g(x)5，g(x)为奇函数，且f(7)17，则f(7)_答案：27解析：由f(7)17得g(7)22，根据g(x)为奇函数得g(7)22，而f(7)g(7)5，所以f(7)22527.5. 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_答案：1解析：由题意可知fff421.6. 定义在(1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上都是减函数，若f(1a)f(13a)0，则实数a的取值范围是_答案：解析：原不等式化为f(13a)f(1a)， f(x)是奇函数， f(1a)f(a1)， 原不等式化
3、为f(13a)f(a1) f(x)是减函数， 13aa1， a.又f(x)的定义域为(1，1)， 解得0a.由和得实数a的取值范围是.7. 已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)af(x)bg(x)3，且F(2)5，则F(2)_答案：1解析：F(2)F(2)af(2)f(2)bg(2)g(2)66， F(2)1.8. 若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1，0上是增函数，给出下列关于f(x)的判断： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于直线x1对称； f(x)在0，1上是增函数； f(x)在1，2上是减函数； f(2)f(0)其中正确的是_(填序号)答
4、案：解析： f(x1)f(x)， f(x)f(x1)f(x11)f(x2)， f(x)是周期为2的函数，正确 f(x2)f(x)f(x)， f(x)f(2x)， yf(x)的图象关于直线x1对称，正确 f(x)为偶函数，且在1，0上是增函数， f(x)在0，1上是减函数又f(x)的对称轴为x1， f(x)在1，2上为增函数，且f(2)f(0)，故错误，正确9. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x23x，则不等式f(x1)x4的解集是_答案：x|x4解析：由题意得f(x)f(x1)即f(x1)所以不等式f(x1)x4可化为或解得x4.10. 设函数f(x)x32x2，若
5、函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为_答案：g(x)x314x264x94解析：设P(x，y)是f(x)图象上任意一点， yx32x2，P关于点(2，1)的对称点为Q(x，y)，则 即代入得2y(4x)32(4x)2，化简得y(x)314(x)264x94，即g(x)x314x264x94.二、 解答题11. 已知函数yf(x)的定义域为R，且对任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)，且当x0 时，f(x)x2，则x1x20，而f(ab)f(a)f(b)， f(x1)f(x1x2x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)， 函数yf(x)是R上的
6、减函数(2) 由f(ab)f(a)f(b)得f(xx)f(x)f(x)，即f(x)f(x)f(0)，而f(0)0， f(x)f(x)，即函数yf(x)是奇函数12. 已知f(x)是定义在6，6上的奇函数，f(x)在0，3上是x的一次函数，在3，6上是x的二次函数，且满足f(x)f(5)3，f(6)2，求f(x)的解析式解： 函数f(x)在3，6上是x的二次函数，且满足f(x)f(5)3，当 x3，6时可设f(x)a(x5)23.由f(6)2得a(65)232，解得a1， 当x3，6时，f(x)(x5)23x210x22， f(3)930221. f(x)在0，3上是x的一次函数，且据奇函数知f
7、(0)0， 当x0，3时，可设f(x)kx(k为常数)由f(3)1得3k1， k， 当x0，3时，f(x)x， f(x)又f(x)是奇函数， f(x)13. 函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3) 如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：(1) 对于任意x1，x2D，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)， 令x1x21，得f(1)2f(1)， f(1)0.(2) f(x)为偶函数令x1x21，有f(1)f(1)f(1)， f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)， f(x)为偶函数(3) 依题意有f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3， f(3x1)f(2x6)3，f(3x1)(2x6)f(64) f(x)为偶函数， f(|(3x1)(2x6)|)f(64) f(x)在(0，)上是增函数，f(x)的定义域为D， 0|(3x1)(2x6)|64.解上式，得3x5或x或x3. x的取值范围是x或x3或3x5
