1、空间向量及其运算(二) 教学目标:掌握空间向量基本定理和两个向量的数量积教学过程:一、 复习1 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量2 空间向量的运算=a+b,(指向被减向量),a 运算律:加法交换律:加法结合律:数乘分配律:3.共线向量(平行向量)(1)概念:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作ab(2)共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b0),ab的充要条件是存在实数,使a=b。推论:如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 a 其
2、中向量a叫做直线l的方向向量。,或 或式都叫做空间直线的向量参数方程 4共面向量(1)概念:平行于同一平面的向量,叫做共面向量。(2)共面向量定理:如果两个向量、不共线,则向量与向量、共面的充要条件是,存在实数对x、y,使=x+y推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y,使=x+y 或对空间任一点O,有=+x+y 二、 新课1、空间向量基本定理 如果三个向量、不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使=x+y+z,叫做空间的一个基底,、叫基向量证明:设、不共面,过点O作,过点P作直线平行OC,交平面OAB于点;在平面OAB内,过作直线,分别与
3、直线OA、相交于点所以存在实数x,y,z使所以(唯一性略)推论 设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z,使例1 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M、N分别是对边OA、BC的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,用基向量 表示向量解:2、两个向量的数量积(1)夹角:已知两个非零向量、,在空间任取一点O,作,则叫向量与的夹角.记作 规定0,则=,称与互相垂直,记作(2)模(长度):设 有向线段的长度叫向量的长度或模,记作(3) 数量积:(4)射影:已知轴l上与l同方向的单位向量,作点在l上的射影,作点在l上的射影,则叫向量在轴l上或在方
4、向上的正射影,简称射影().空间向量数量积的性质: () 空间向量数量积的运算律 (交换律)(分配律)例 已知:m.n是平面内的两条相交直线,直线l与的交点为B,且求证:证明:在内作不与m.n重合的任一直线g,在l、m、n、g上取非零向量,不平行,存在唯一的实数(x,y)使例 已知:在空间四边形OABC中,求证: 证明:已知得变式:在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,求OA与BC所成角的余弦值()例 已知线段AB在平面内,线段线段线段,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离解:已知得例已知在平行六面体中,求的长解:三、 小结1、 空间向量基本定理2、 两个向量的数量积、性质和运算律四、 作业P36 3 4 5