1、空间向量及其运算(二) 教学目标：掌握空间向量基本定理和两个向量的数量积教学过程：一、 复习1 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量2 空间向量的运算=a+b，（指向被减向量），a 运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：3.共线向量（平行向量）（1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作ab（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 a 其
2、中向量a叫做直线l的方向向量。，或 或式都叫做空间直线的向量参数方程 4共面向量（1）概念：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。(2)共面向量定理:如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使=x+y推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使=x+y 或对空间任一点O，有=+x+y 二、 新课1、空间向量基本定理 如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使=x+y+z,叫做空间的一个基底，、叫基向量证明：设、不共面，过点O作，过点P作直线平行OC，交平面OAB于点;在平面OAB内,过作直线,分别与
3、直线OA、相交于点所以存在实数x,y,z使所以（唯一性略）推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使例1 已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用基向量 表示向量解：2、两个向量的数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O,作,则叫向量与的夹角.记作 规定0,则=,称与互相垂直,记作(2)模(长度):设 有向线段的长度叫向量的长度或模,记作(3) 数量积:(4)射影:已知轴l上与l同方向的单位向量，作点在l上的射影，作点在l上的射影，则叫向量在轴l上或在方
4、向上的正射影，简称射影（）.空间向量数量积的性质: （） 空间向量数量积的运算律 (交换律)(分配律)例 已知:m.n是平面内的两条相交直线,直线l与的交点为B，且求证：证明：在内作不与m.n重合的任一直线g，在l、m、n、g上取非零向量，不平行，存在唯一的实数（x,y）使例 已知：在空间四边形OABC中，求证： 证明：已知得变式：在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，求OA与BC所成角的余弦值（）例 已知线段AB在平面内,线段线段线段,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离解：已知得例已知在平行六面体中，求的长解：三、 小结1、 空间向量基本定理2、 两个向量的数量积、性质和运算律四、 作业P36 3 4 5
