1、5圆的方程一、内容归纳1. 知识精讲.圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心为(-，-)，半径为，(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）（4）半圆方程：等(5)圆系方程： i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1
2、y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)该方程不包括圆C2； （时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；二元二次方程表示圆的充要条件A=C0，B=0 ，D2+E2-4AF0。二、问题讨论例1、根据下列条件，求圆的方程。(1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4；(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；(3)已知一圆过P(4，-
3、2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) O与Q相外切于PO、P、Q共线，且=-=- 由定比分点公式求得a=-3，b=3所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：= 即x+y-1=0解方程组 x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 (3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 将P、Q点的坐标分别代入，得：4D-2E+F=-20 D-3E-F=10 令x=0
4、，由得y2+Ey+F=0 由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的两根。(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 、组成的方程组，得 D=-2 D= -10 E=0 或 E= -8 F= -12 F=4故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0思维点拔无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例2、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。解：本题关键是找出动点
5、P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。 设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)。因为平行四边形对角线互相平分，故=，=从而 x0=x+3 y0=y-4N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(-，)和(-，)思维点拔：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。例3、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足(1)，(2
6、)的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知图P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2=a2+1，从而得2b2-a2=1又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=5d2=|a-2b|2=a2-4ab+4b2a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值。由此有 a=b 2b2-a2=1 解此方程组得 a=1 或 a=-1 b=1 b=-1由
7、于r2=2b2知r=，于是所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2思维点拔：本题考查了综合运用知识解决问题的能力。另外在研究最值问题时，也可以将方程2b2-a2=1与d=联立，消去a，得到关于b的二次方程。2b24db+5d2+1=0，只要令0时，就可求d的最小值。例4、已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a1，且aR。(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程。解：将方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a（2x-2y）=0令 x2+y2
8、-4y+2=0 x-y=0解之得 x=1 y=1 定点为(1，1)(2)易得已知圆的圆心坐标为（a，2-a），半径为|a-1|。设所求切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a-1|恒成立。整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立。比较系数可得 2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2 解之得k=1，b=0。所以，所求的切线方程是y=x。(3)圆心坐标为(a，a-2)，又设圆心坐标为(x，y)，则有 x=a y=
9、2-a 消去参数得x+y=2为所求的圆心的轨迹方程。思维点拔：本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时，方程表示圆的集合，即圆系。解本题(1)可用分离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可用配方法求解。一般地，过两圆C1：f(x，y)=0与C2：g(x，y)=0的交点的圆系方程为：f(x，y)+g(x，y)=0(为参数)。三、课堂小结1、求圆的方程：主要用待定系数法，有两种求数，一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；二是利用圆的一般方程求出系数D、E、F的值。2、已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。3、解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。4、与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法（如直接法、定义法、动点转移法等），有时还需要结合运用其他方法，如交轨法、参数法等。四、作业布置：P278 基础训练 能力提高 高考新题预测
