1、正弦函数、余弦函数的性质(一)【知识梳理】1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期2正弦、余弦函数的周期性正弦函数ysin x(xR)和余弦函数ycos x(xR)都是周期函数，2k(kZ，且k0)都是它们的周期最小正周期为2.3正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数【常考题型】题型一、函数的周期【例1】求下列三角函数的周期：(1)y3sin
2、x，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)ysin，xR；(4)y|cos x|，xR.解(1)因为3sin(x2)3sin x，由周期函数的定义知，y3sin x的周期为2.(2)因为cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(3)因为sinsinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.(4)y|cos x|的图像如图(实线部分)所示，由图像可知，y|cos x|的周期为.【类题通法】求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为yAsin(x)B或yAcos(x)B的形式，再利用T求得；(2)
3、图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观察得到最小正周期【对点训练】求下列函数的最小正周期：(1)y3sin；(2)ycos|x|.解：(1)由T4，可得函数的最小正周期为4.(2)由于函数ycos x为偶函数，所以ycos|x|cos x，从而函数ycos|x|与ycos x的图像一样，因此最小正周期相同，为2.题型二、三角函数的奇偶性【例2】(1)函数f(x)sin 2x的奇偶性为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数(2)判断函数f(x)sin的奇偶性(1)解析f(x)的定义域是R.且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，函数为奇函数答案A(2)解f(x
4、)sincosx，f(x)coscosx，函数f(x)sin为偶函数【类题通法】与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)【对点训练】若函数ysin(x)(0)是R上的偶函数，则等于()A0 B.C. D解析：选C法一：由于ysincos x，而ycos x是R上的偶函数，所以.法二：因为ysin x的图像的对称轴为xk，kZ，所以函数ysin(x)的图像的对称轴应满足xk.又ysi
5、n(x)是偶函数，所以x0是函数图像的一条对称轴，所以k，kZ，当k0时，.题型三、三角函数的奇偶性与周期性的应用【例3】若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f1，求f的值解f(x)的周期为，且为偶函数，ffff.而ffff1，f1.【类题通法】解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把xnT(nZ)的函数值转化为x的函数值利用奇偶性，可以找到x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题【对点训练】若f(x)是奇函数，且f(x1)f(x)，当x(1,0)时，f(x)2x1，求f的值解：f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x2)f(x)，即T2.fff.又f(x)为奇
6、函数，且x(1,0)时，f(x)2x1，ff0，故f0.【练习反馈】1函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：选A由于xR，且f(x)sin xsin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数2函数f(x)2sin是()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析：选B由于f(x)2sin2cos x，其最小正周期为2，且为偶函数3f(x)sin xcos x是_(填“奇”或“偶”)函数解析：xR时，f(x)sin(x)cos(x)sin xcos xf(x)，即f(x)是奇函数答案：奇4函数ycos的最小正周期是_解析：ycos，T24.答案：45定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sin x，求f的值解：当x时，f(x)sin x，且最小正周期为，ffffsinsin.
