1、2016-2017学年广东省广州市天河中学高三（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只一项是符合题目要求的1设复数z=1i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1z）|=（）AB2CD12已知集合A=0，xN，B=x|2，xZ，则满足条件ACB的集合C的个数为（）A1B2C4D83已知|=7，|=3，|=5，则与的夹角为（）ABCD4执行如图所示的程序框图，任意输入一次x（0x1）与y（0y1），则能输出数对（x，y）的概率为（）ABCD5已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4+x）=f（x），且在区间0，2上是增函数，那么f（
2、0）0是函数f（x）在区间0，6上有3个零点的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A18B24C30D367一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A112B80C72D648函数y=（0a1）的图象的大致形状是（）ABCD9等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8），则f（0）=（）A26B29C212D21510已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=
3、1，AC=2，则球O的表面积为（）A16B12C8D411已知函数，且关于x的方程f（x）+xa=0有且只有一个实根，则实数a的范围是（）A（，0）B（0，1）C（1，2）D（1，+）12设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于（）A4B3C2D1二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值为14（1x）（1+2x）5展开式按x的升幂排列，则第3项的系数为15已知n=（2x+1）dx，数列的前n项和为Sn，数列bn的通项
4、公式为bn=n35，nN*，则bnSn的最小值为16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A的大小为三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）记ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若，ABC的面积，求b+c的值18如图，已知四棱锥PABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，DAB=60（1）证明：PBC=90；（2）若PB=3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值19为了让学生更多的了解“数学史”知识
5、，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率值相同（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望20如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B
6、，且与共线（）求椭圆E的标准方程；（）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围21已知函数f（x）=x2ax+ln（ax+）（a0）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的a（1，2），当x01，2时，都有f（x0）m（1a2），求实数m的取值范围选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，已知ABC，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB，AC分别交于点M，N，且CN=2BM，点N平分AC求证：AM=7BM选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系中xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参
7、数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为=10cos曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|选修4-5：不等式选讲24选修45：不等式选讲设函数f（x）=|2x4|+|x+2|（）求函数y=f（x）的最小值；（）若不等式f（x）|a+4|a3|恒成立，求a的取值范围2016-2017学年广东省广州市天河中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只一项是符合题目要求的1设复数z=1i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1z）|=（）AB2CD1【考点】复数代数形式的乘除运算；
8、复数求模【分析】给出z=1i，则，代入整理后直接求模【解答】解：由z=1i，则，所以=故选A2已知集合A=0，xN，B=x|2，xZ，则满足条件ACB的集合C的个数为（）A1B2C4D8【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法【分析】通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件ACB的集合C的个数即可【解答】解：=1，2=0，1，2，3，4，因为ACB，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为0，3，4子集的个数：23=8故选D3已知|=7，|=3，|=5，则与的夹角为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】把|=7两边
9、平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量积和两个向量的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果【解答】解：|=7，|=3，|=5，22+2=92+25=49=，cos，=，0，与的夹角为故选A4执行如图所示的程序框图，任意输入一次x（0x1）与y（0y1），则能输出数对（x，y）的概率为（）ABCD【考点】选择结构【分析】依题意，满足不等式组的x，y可以输出数对，读懂框图的功能即可计算概率【解答】解：依题意，不等式组表示的平面区域的面积等于1，不等式组表示的平面区域的面积等于，因此所求的概率等于故选：B5已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4+x）=f（x
10、），且在区间0，2上是增函数，那么f（0）0是函数f（x）在区间0，6上有3个零点的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由f（x+4）=f（x）得出函数的周期是4，然后利用函数奇偶性与单调性的关系，判断f（0）0与函数f（x）在区间0，6上有3个零点之间的推出关系，最后根据充要条件的定义得出答案【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以函数f（x）的周期是4因为函数在区间0，2上是增函数，且函数f（x）是偶函数，所以函数f（x）在区间2，4上单调递减若函数f（x）在区间0，6上有3个零点，则f（0）0，f（2）
11、0，如图反之，若f（0）0，f（2）0，如图，则函数f（x）在区间0，6上没有零点，故f（0）0是函数f（x）在区间0，6上有3个零点的必要不充分条件故选C6将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A18B24C30D36【考点】排列、组合的实际应用【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果【解答】解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有
12、两名学生分在一个班的种数是C42，元素还有一个排列，有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，满足条件的种数是C42A33A33=30故选C7一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A112B80C72D64【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，代入数据分别求棱柱与棱锥的体积即可【解答】解：由三视图可知，此几何体是由一个棱柱和一个棱锥构成的组合体，棱柱的体积为444=64；棱锥的体积为443=16；则此几何体的体积为80；故选B8函数y=（0a1）的图象的大致形状是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】分x0与x0两种情况将函
13、数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状【解答】解：当x0时，|x|=x，此时y=ax（0a1）；当x0时，|x|=x，此时y=ax（0a1），则函数（0a1）的图象的大致形状是：，故选：D9等比数列an中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（xa1）（xa2）（xa8），则f（0）=（）A26B29C212D215【考点】导数的运算；等比数列的性质【分析】对函数进行求导发现f（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可【解答】解：考虑到求导中f（0），含有x项均取0，得：f（0）=a1a2a3a8=（a1a8）4=212故选：C10已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面
14、上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，则球O的表面积为（）A16B12C8D4【考点】球的体积和表面积【分析】由三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，知BC=，ABC=90故ABC截球O所得的圆O的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积【解答】解：如图，三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，BC=，ABC=90ABC截球O所得的圆O的半径r=AC=1，球O的半径R=2，球O的表面积S=4R2=16故选：A11已知函数，且关于x的方程
15、f（x）+xa=0有且只有一个实根，则实数a的范围是（）A（，0）B（0，1）C（1，2）D（1，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】本题可采用数形结合的方法解答，在同一坐标系内分别作出y1=f（x），y2=x+a的图象，其中a表示直线在y轴的截距，结合图形可知当a1时，直线y2=x+a与y1=log2x只有一个交点即关于x的方程f（x）+xa=0有且只有一个实根【解答】解：关于x的方程f（x）+xa=0有且只有一个实根，即函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象有且只有一个交点，如图，在同一坐标系内分别作出y1=f（x），y2=x+a的图象，数形结合可知，当a1时，直线y2=x+a与
16、y1=log2x只有一个交点即a（1，+）故选 D12设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于（）A4B3C2D1【考点】两点间的距离公式；双曲线的简单性质【分析】由双曲线方程，算出c=5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|MT|=4a=1，得到本题答案【解答】解：MO是PF1F2的中位线，|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c=5，|OF1|=5，PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=
17、3，RtOTF1中，|FT1|=4，|MO|MT|=|=|PF2|（|PF1|F1T|）=|F1T|（|PF1|PF2|）=4a=1故选：D二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值为23【考点】简单线性规划【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（4，5）目标函数z=2x+3y可看做斜率为3的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=23故答案为：2314（1x）（1+2x）5展开式按x的升幂排列，则第3
18、项的系数为30【考点】二项式定理的应用【分析】把（1+2x）5按照二项式定理展开，可得按x的升幂排列的前三项，从而得到第3项的系数【解答】解：（1x）（1+2x）5=（1x）（+2x+（2x）2+（2x）3+（2x）4+（2x）5），展开式按x的升幂排列，前三项分别为，（ 21）x，（2x）22x=30x；则第3项的系数为30，故答案为：3015已知n=（2x+1）dx，数列的前n项和为Sn，数列bn的通项公式为bn=n35，nN*，则bnSn的最小值为25【考点】定积分；数列的求和【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即
19、可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x） =n2+n=数列的前n项和为Sn=+=1+=1=，bn=n35，nN*，则bnSn=（n35）=n+1+372637=25，等号当且仅当n+1=，即n=5时成立，故bnSn的最小值为25故答案为：2516在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A的大小为或【考点】正弦定理【分析】由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60，A+C=120又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（AC）=0，得AC=90，由
20、此可得A的大小【解答】解：ABC中，2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，sin2B=sin（A+C）得2B=A+C （如果2B=180（A+C），结合A+B+C=180易得B=0，不合题意）A+B+C=180=3B，得B=60，A+C=120又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，=3sinAsinC=3 cos（AC）cos（A+C）=（cos（AC）+），解得 cos（AC）=0，故AC=90，结合A+C=120，易得 A=，或A=故答案为A=，或A=三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文
21、字说明、证明过程或演算步骤17已知函数（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）记ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若，ABC的面积，求b+c的值【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性【分析】（）利用两角和的正弦、二倍角的余弦函数公式分别化简函数f（x）解析式的前两项，整理后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递增区间，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到函数的单调递增区间；（）由f（A）=，可求A，由三角形的面积公式S=bcsinA可求bc，再由余弦定理可求b+c【解答】解：（I）=sinx+
22、cosx+1cosx=，令2k，kZ可得2k单调递增区间为2k，2k，kZ（II），sin（A）+1=即sin（A）=0AA=ABC的面积S=bc=2由余弦定理可得，a2=b2+c22bccos60即3=b2+c22=（b+c）26b+c=318如图，已知四棱锥PABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，DAB=60（1）证明：PBC=90；（2）若PB=3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值【考点】用空间向量求直线与平面的夹角【分析】（1）取AD中点O，连OP、OB，证明AD平面POB，利用BCAD，可得BC平面POB，从而可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面
23、PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值【解答】（1）证明：取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OPAD，OBAD，又OPOB=O，AD平面POB，BCAD，BC平面POB，PB平面POB，BCPB，即PBC=90（2）解：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A（1，0，0），B（0，0），C（2，0），由PO=BO=，PB=3，得POB=120，POz=30，P（0，），则=（1，0），=（2，0，0），=（0，），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取z=，则=（0，1，），设直线AB与平面PBC所成的角为，则sin=|cos，
24、|=19为了让学生更多的了解“数学史”知识，某班级举办一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率值相同（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望【考点
25、】频率分布直方图【分析】（1）由频率的意义可知，从上到下各个小组的频率之和是1，同时每小组的频率=，由此计算填表中空格；（2）由题意知：该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，根据二项分布的概率公式计算即可得其分布列，进而求得X的数学期望【解答】解：（）由图中数据知，样本容量为50，根据频率=，处=0.1650=8；处=；处填：5044=6；处填：故有：80.4460.12（）由（），得p=0.4（i）该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，则有C310.40.620.4=0.1728（ii）由
26、题设可知，该同学答题个数为2、3、4即X=2、3、4，P（X=2）=0.42=0.16，P（X=3）=C210.40.60.4=0.192，P（X=4）=C310.40.62+0.63=0.648，分布列为：E（X）=20.16+30.192+40.648=3.48820如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线（）求椭圆E的标准方程；（）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）设椭圆E的标准方程为，由A（a，0）、B（0，b），知，由与共线，知，由此能求出椭
27、圆E的标准方程（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，故，=16k2m24（2k2+1）（2m22）=16k28m2+80，由此能求出实数m的取值范围【解答】解：（）设椭圆E的标准方程为，由已知得A（a，0）、B（0，b），与共线，又a2b2=1a2=2，b2=1，椭圆E的标准方程为（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y，得，（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，=16k2m24（2k2+1）（2m22）=16k28m2+80（*） 原点O总在以PQ为直径的圆
28、内，即x1x2+y1y20又由得，依题意且满足（*） 故实数m的取值范围是21已知函数f（x）=x2ax+ln（ax+）（a0）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的a（1，2），当x01，2时，都有f（x0）m（1a2），求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f（x）0，f（x）0即可；（2）对任意的a（1，2），当x01，2时，都有f（x0）m（1a2），等价于f（x0）minm（1a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）minm（1a2）（
29、1a2），问题转化为g（a）min0（1a2），分类讨论可求出m的取值范围【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（，+）f（x）=2x2+=2x2+=由f（x）0，得，或x；由f（x）0，得0x所以函数f（x）的单调递增区间为（，0），（，+），单调递减区间为（0，）（2）y=f（x）的定义域为（，+）f（x）=2xa+=2xa+=当1a2时，1=0，即，所以当1x2时，f（x）0，f（x）在1，2上单调递增，所以f（x）在1，2上的最小值为f（1）=1a+ln（）依题意，对任意的a（1，2），当x01，2时，都有f（x0）m（1a2），即可转化为对任意的a（1，2），1a+ln（
30、）m（1a2）0恒成立设g（a）=1a+ln（）m（1a2）（1a2）则g（a）=1+2ma=，当m0时，2ma（12m）0，且0，所以g（a）0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）0，与g（a）0矛盾当m0时，g（a）=，若，则g（a）0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）0，与g（a）0矛盾；若12，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）g（1）=0，与g（a）0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为，+）选修4-1：几
31、何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，已知ABC，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB，AC分别交于点M，N，且CN=2BM，点N平分AC求证：AM=7BM【考点】与圆有关的比例线段；综合法与分析法(选修）【分析】由切、割线定理，得BP2=BMBA，CP2=CNCA，由BP=CP，知BMBA=2CN2，由CN=NA=2BM，BA=BM+AM，能够证明AM=7BM【解答】证明：由切、割线定理，得BP2=BMBA，CP2=CNCA，BP=CP，BMBA=2CN2，CN=NA=2BM，BA=BM+AM，BM（BM+AM）=8BM2，AM=7BM，选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐
32、标系中xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为=10cos曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】在=10cos的两边同乘以，得2=10cos，则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=10x，由此能够求出|AB|【解答】解：在=10cos的两边同乘以，得2=10cos，则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=10x，将曲线C1的参数方程代入上式，得（6+t）2+t2=10（6+t），整理，得t2+t24=0，设这个方程的两根为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=24，所以|
33、AB|=|t2t1|=3选修4-5：不等式选讲24选修45：不等式选讲设函数f（x）=|2x4|+|x+2|（）求函数y=f（x）的最小值；（）若不等式f（x）|a+4|a3|恒成立，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（）去绝对值可得f（x）=，分段求最值可得；（）问题等价于|a+4|a3|f（x）min=4，解之可得【解答】解：（）由于f（x）=|2x4|+|x+2|=可得当x2时，3x+28，当2x2时，46x8，当x2时，3x24，所以函数的最小值为f（2）=4（）若不等式f（x）|a+4|a3|恒成立，则|a+4|a3|f（x）min=4，又解不等式|a+4|a3|4可解得a所以a的取值范围为a2017年4月7日
