1、课后限时集训(四十一)空间几何体的结构及其表面积、体积建议用时：25分钟一、选择题1下列说法中正确的是()A斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台答案D2一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()A B C16 D24B设球的半径为R，则S4R216，解得R2，则球的体积VR3.3九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰
2、长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()A1 B12C2 D22C由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1211212，故选C4用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A32 B C DB若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1BFE的体积为()A BC DC由等体积法可知VVSBB1FAD11.故选C6正方体ABCD
3、A1B1C1D1的棱长为2，已知AC1平面，则关于截此正方体所得截面有以下4个判断，截面形状可能为正三角形；截面形状可能为正方形；截面形状可能为正六边形；截面面积最大值为3.其中判断正确的是()A B C DD如图，显然成立，下面说明成立，如图截得正六边形时，面积最大，MN2，GH，OE，所以S2(2)3，故成立，故选D7(2020全国卷)已知ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为()A B C1 DC由等边三角形ABC的面积为，得AB2，得AB3，则ABC的外接圆半径rABAB.设球的半径为R，则由球的表面积为16，得4R216，得
4、R2，则球心O到平面ABC的距离d1，故选C8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A B C DA(分割法)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，取AD的中点O，连接GO，易得GO，SAGDSBHC1，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC21.故选A二、填空题9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，
5、DCBC，则这块菜地的面积为 2如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.图图在RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图.在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，这块菜地的面积S(ADBC)AB22.10圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积为 cm2 (结果中保留)1 100如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180，所以CSA又C21020，所以SA20(cm)同理SB40(cm)所以ABSBSA20(cm)S
6、表S侧S上底S下底(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.11.根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型如图所示的空心模型是体积为 cm3的球挖去一个三棱锥PABC后得到的几何体，其中PAAB，BC平面PAB，BC1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC cm.3设球的半径为R，由球的体积R3，解得R cm.因为BC平面PAB，所以BCPB，BCAB，BCPA因为PAAB，ABBCB，所以PA平面ABC，所以PAAC由BCAB可知，AC为截面圆的直径，故可设ACx cm(1x)，取PC的中点O
7、，连接OA，OB(图略)，则POOCOAOB，故O为球心，所以PCcm.在RtPAC中，PA cm，在RtABC中，AB cm，所以VPABCSABCPA1(cm3)，当且仅当x2117x2，即x3时，等号成立所以当用料最省时，AC3 cm.12已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为 设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为 6该圆锥的高h2.所以该圆锥的体积V122.将圆锥侧面沿母线SA展开，如图所示因为圆锥底面周长为2，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角ASA.由题意知点B是侧面展开后得
8、到的扇形中弧AA的中点，连接AB，AB，SB，则ASB，可得ABABAS3.所以该质点运动路径的最短长度为ABAB6.1已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A B C DA由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.2(2020福州质检)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A BC DC正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3.故选C