1、1990年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内（1）方程的解集是（A） （B） （C） （D）x = 9 。（2）把复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是 （ ）（A）； （B） （C） （D） (3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于（A） （B） （C） （D）。(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)、已知右图是函数y = 2sin (x + ) ( | 0.设命题甲为:两个
2、实数a,b满足ab2h;命题乙为:两个实数a,b满足a1h且b-1h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件； (B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件；(C)甲是乙的充分条件 ； (D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C与C关于原点对称,那么C所
3、对应的函数是(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.（16）、双曲线的准线方程是）6 (17)、(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 (18)、已知an是公差不为零的等差数列,如果Sn是an的前n项的和,那么= (19)、函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 (20)、如图,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2 三
4、、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.（22）已知sin+sin= ， cos+cos = ，求tg（+）的值。(23)如图,在三棱锥SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a0,在复数集C中解方程z2+2za. n2.()如果f(x)当x(-,1时有意义,求a的取值范围;()如果a(0,1,证明2f(x)0,方程变为x22x=a.由此可知:当a=0时,方程无正
5、根;()令x0时,方程有负根x=1-.()令x=0,方程变为0=a.由此可知:当a=0时,方程有零解x=0;当a0时,方程无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a.()令y0,方程变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.由此可知:当a1时,方程无实根.当a1时解方程得y=1,从而,当a=0时,方程有正根y=2;当0a1时,方程有正根y=1.()令y1时,方程无实根.当a1时解方程得y=-1,从而,当a=0时,方程有负根y=-2;当0a1时,方
6、程有负根y=-1所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=2i;当01时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a.即| x |2+2x=a.解方程得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a.即-y2 +2y=a.当a=0时,因y0,解方程得y=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z
7、=2i.当0a1时,解方程得,即当01时,方程无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2z+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cos+isin),其中r0,00时,方程无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a0时,原方程无零解.考查r0的情形.()当k=0,2时,对应的复数是z=r.因cos2=1,故式化为r2+2r=a.由此可知:当a=0时,方程无正根;当a0时,方程有正根.所以,当a0时,原方程
8、有解.()当k=1,3时,对应的复数是z=ri.因cos2=-1,故式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,由此可知:当a1时,方程无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=2i;当01时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中ab0待定,0b0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是 (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知
9、识解决问题的能力.()解:f(x)当x(-,1时有意义的条件是1+2x+(n-1)x+nxa0x(-,1,n2,上都是增函数,在(-,1上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为()证法一:2f(x)f(2x)a(0,1,x0.即1+2x+(n-1)x+nxa2n1+22x+(n-1)2x+n2xaa(0,1,x0.现用数学归纳法证明式.（A）先证明当n=2时式成立.假如0a1,x0,则(1+2xa)2=1+22xa+22xa22(1+22x)2(1+22xa).假如a=1,x0,因为12x,所以因而当n=2时式成立.（B）假如当n=k(k2)时式成立,即有1+2x+(k-1
10、)x+kxa2k1+22x+(k-1)2xa a(0,1,x0,那么,当a(0,1,x0时(1+2x+kx)+(k+1)xa2=(1+2x+kx)2+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2k(1+22x+k2x)+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2=k(1+22x+k2x)+21(k+1)xa+22x(k+1)xa+2kx(k+1)xa+(k+1)2xa2k(1+22x+k2x)+1+(k+1)2xa2+22x+(k+1)2xa2+k2x+(k+1)2xa2+(k+1)2xa2=(k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa2(k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa,这就是说,当n=k+1时式也成立.根据(A),(B)可知,式对任何n2(nN)都成立.即有2f(x)f(2x)a(0,1,x0.证法二:只需证明n2时因为其中等号当且仅当a1=a2=an时成立.利用上面结果知,当a=1,x0时,因12x,所以有1+2x+(n-1)x+nx2n1+22x+(n-1)2x+n2x.当0a1,x0时,因a2a,所以有1+2x+(n-1)x+nxa2n1+22x+(n-1)2x+n2xa2n1+22x+(n-1)2x+n2xa.即有2f(x)f(2x)a(0,1,x0.
