1、4.5.2用二分法求方程的近似解新课程标准：1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.学业水平要求：水平一1.能从教材实例中了解二分法概念.（数学抽象）2.能从教材实例中归纳出用二分法求方程近似解的步骤.（逻辑推理）水平二能了解二分法求方程近似解的思想，能利用二分法求方程的近似解.（数学运算）导思1.求函数的零点时，如果方程无法用所学的方法求根，那么怎样求函数的零点？2.应用二分法求函数的零点有哪些步骤？1.二分法的概念(1)二分法：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使
2、所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值.(3)应用：求函数的零点、方程的根的近似解.【思考】为什么能用二分法求方程的近似解？提示：方程的根即为对应函数的零点.2.用二分法求函数零点近似值的步骤(1)步骤：给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：确定零点的初始区间，验证.求区间的中点.计算，并进一步确定零点所在的区间：(i)若(此时)，则就是函数的零点；(ii)若(此时)，则令；(iii)若(此时零点)，则令.判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)，否则
3、重复步骤.(2)本质：计算过程程序化，算法思想的具体体现.(3)应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解.【思考】零点的近似解只能是区间的端点或吗？提示：不是，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)任何函数的零点都可以用二分法求得.()(2)用二分法求出的函数零点就是精确值.()(3)用“二分法”求近似解时，精确度越大，零点的精确度越高.()提示：(1).函数需满足在区间上连续不断且，才能用二分法求零点.(2).用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值.(3).精确度越大，
4、零点的精确度越低.2.下列图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()【解析】选A.只有A中图象与轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.3.(教材二次开发：例题改编)若函数的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：则方程的一个近似解(精确度)为_.【解析】因为，所以；因为，又，所以，此时.所以可以是之间的任意一个数，故取.答案：(答案不唯一)类型一二分法的概念应用(直观想象、逻辑推理)【题组训练】1.(2020周口高一检测)下列函数中能用二分法求零点的是()2.已知有零点，但不能用二分法求出，则的值是()A.B.C.D.3.下列关于函数，的叙述中，二
5、分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用；若是在上的零点，则可用二分法求的近似值；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.其中正确的个数为()A.B.C.D.【解析】1.选C.只要函数图象有部分在x轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有C.2.选A.有零点，但不能用二分法求出，则，有两个相等的实数根，则，解得.3.选B.二分法除了可以求函数的零点，方程的根外，还广泛应用于实际问题中，如在一个串联多焊点的故障检测中，要查出哪个焊点出现故障时，就可以用二分法，以尽快找到故障焊
6、点.正确；中函数不一定连续，且无法判断是否有，错误；中利用信息技术，步骤循环进行，可以得到小数点后的任一位，正确；中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，错误.【解题策略】运用二分法求函数的零点应具备的两个条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【补偿训练】已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为()A.，B.，C.，D.，【解析】选D.由图象可知，函数有个零点，能用二分法求出的有个.类型二用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理)【典例】1.(多选题)用二分法求函数的一个零点，其参
7、考数据如下：根据上述数据，可得的一个零点近似值(精确度)为()A.B. C.D.2.用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为，那么下一个有根的区间是_.【解题导引】1.首先确定零点所在的区间，再根据相关的概念判断所取的零点是否正确.2.依据，的符号作出判断.【解析】1.选BCD.由参考数据知，即且.所以的一个零点的近似值可取为，.2.设，零点所在的区间为，所以方程下一个有根的区间是.答案：【解题策略】二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.【跟踪训练】1.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后
8、函数的零点在区间内，当(为精确度)时，函数零点近似值与真实零点的误差最大不超过()A. B. C.D.【解析】选B.真实零点离近似值最远即靠近或，而 因此误差最大不超过.2.在用二分法求函数在内的零点的近似解时，经计算，则可得出方程零点的一个近似解为_(精确度). 【解析】因为，所以内的任意一个值都可作为方程的近似解.答案：(答案不唯一)类型三用二分法求方程的近似解(数学运算、直观想象)角度1求方程的近似解【典例】用二分法求方程的近似解(精确度为).【思路导引】设出方程相应的函数，按照二分法求函数零点的步骤计算.【解析】设函数，因为函数与在上都是增函数，所以在上是单调递增的，又因为，所以在区间
9、内存在零点，利用二分法可得表，区间中点的符号区间长度方程在精确度为的要求下的一个近似值为.【变式探究】本例中，若精确度变为，则要达到精确度要求至少要计算多少次？【解析】设至少需要计算次，则满足，即，因为，所以至少需要计算次.角度2已知方程根的个数求参数范围【典例】(2020南通高一检测)已知函数 设方程有个不同的根，则实数的取值范围是_.【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数，利用图象解决.【解析】方程有个不同的根，即为有个不等实根，作出的图象，可得时，与的图象有个交点.答案： 【解题策略】1.关于二分法求方程的根设出方程对应的函数，函数的零点即为方程的根，因此只需利用二分法求出对应
10、函数的零点即可.2.关于利用方程的根求参数的范围(1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式，设出两个函数，作出两个函数的图象，根的个数即为图象交点的个数，利用图象确定参数的范围；(2)解题思维过程：方程解的个数函数交点个数方程根的个数，方法是数形结合法.【题组训练】1.利用二分法求方程的近似解，初始区间可以取()A.B.C.D.【解析】选C.设，因为当连续函数满足时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又因为，故，故方程在区间上有解.2.(2020吉林高一检测)已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围为_.【解析】因为,所以的图象如图： 所以的图象如图：因为恰有个不同的零点，所以
11、图象与轴有两个不同的交点.因为若时，有两个零点，则令，得或；则时，没有零点，所以.因为若时，有一个零点；则时，有一个零点，所以.答案：.1.用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间是()A.B.C.D.无法确定【解析】选B.由题意可知：对于函数在区间上，有，利用函数的零点存在定理，所以函数在上有零点.取区间的中点,因为计算得，所以利用函数的零点存在定理，函数在上有零点.2.已知函数为上的连续函数，且，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到，则需对区间至少等分的次数为()A.B.C.D.【解析】选C.设需计算次，则满足，即.故计算次就可满足要求，所以将区间等分的次数最少为次.3.(教材二次开发：例题改编)用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：的近似值据此数据，可得方程的一个近似解(精确度为)可取_.【解析】，方程的一个近似解在上，且满足精确度为，所以所求近似解可取为.答案：(答案不唯一)4.用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间为_.【解析】因为，所以，.所以下一个有根区间应为答案：.
