1、3.万有引力理论的成就学习目标：1.物理观念理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。2.科学思维理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。3.科学态度与责任认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。阅读本节教材，回答第55页“问题”并梳理必要知识点。教材第55页“问题”提示：利用mg得M，g为地球表面重力加速度，R为地球半径，G6.671011Nm2/kg2，代入数据可以算出地球的质量。一、“称量”地球的质量1合理假设：不考虑地球自转。2“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地
2、球对物体的引力，即mgG，由此可解得m地。卡文迪什把测引力常量的实验称为“称量地球的质量”是不无道理的。3结论：只要知道g、R的值，就可以算出地球的质量。二、计算天体质量1计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程Gm，由此可解得m太。这种方法我们称之为“rT”法(小r大T法，小r是行星轨道的半径，大T是行星的公转周期)。2结论：只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量。3计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行。三、发现未知天体及预言哈雷彗星回归1海王星的发现英国剑桥大
3、学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星海王星。2其他天体的发现近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。3预言哈雷彗星回归英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。1思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。()(2)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。()(3)科学家在观测双星系统时，同
4、样可以用万有引力定律来分析。()(4)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”。()2下列说法正确的是()A海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星D由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星
5、。由此可知，A、B、C错误，D正确。3已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有()A月球的质量B地球的质量C地球的半径D地球的密度B由天体运动规律知GmR可得地球质量M，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确。计算天体的质量与密度(教师用书独具)教材第56页“思考与讨论”答案提示：Gmr，M，T为地球绕太阳公转的周期，代入数据可计算太阳的质量，换用其他行星的相关数据计算，结果相近。因为各行星以太阳为中心天体，有k，k为定值，可知估算结果相似。(1)假设地球绕太阳做匀速圆周运动，如果知道万有引力常量G、地球绕太阳运动的
6、周期T和轨道半径r，可以计算出地球的质量吗？(2)如果要估算出太阳的密度，应该知道哪些条件？提示：(1)不可以。(2)万有引力常量G、太阳半径R、地球绕太阳运动的周期T和轨道半径r。1天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mgG，解得天体的质量为M，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明GmMr为行星(或卫星)的轨道半径，v、T为行星(
7、或卫星)的线速度、角速度和周期Gmr2MGmrM特别提醒(1)求解中心天体的质量，需知道绕该天体转动的某一环绕天体的运行规律，与环绕天体的质量无关。(2)利用上述两种方法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量。2天体密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度由mgG和M，得。(2)利用天体的卫星求天体密度若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得Gmr，中心天体质量MR3，联立可得。特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则。【例1】(多选)若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为
8、L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是()A月球表面的重力加速度g月B月球的质量m月C月球的自转周期TD月球的平均密度AB根据平抛运动规律，Lv0t，hg月t2，联立解得g月，选项A正确；由mg月G解得m月，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度，选项D错误。求解天体质量和密度时的两种常见误区(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如误约分；只有卫
9、星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。跟进训练1(计算中心天体质量)中国古代的“太白金星”指的是八大行星中的金星。已知引力常量G，再给出下列条件，其中可以求出金星质量的是()A金星绕太阳运动的轨道的半径和周期B卫星绕金星表面附近运动时的线速度C金星的半径和金星表面的重力加速度D金星绕太阳运动的周期及地球绕太阳运动的轨道半径和周期C行星绕太阳运动时，万有引力提供其所需要的向心力，故有Gm金，可得太阳的质量表达式为M，而金星的质量m金在等式中已消掉，故A、D错误；由G，可得m金，由于金星的半径不知，故不能求出金星的质量，故B错误；在金星表面时，质量为m的物体
10、所受重力与金星对其的万有引力相等，则mgG，得m金，若已知金星的半径与金星表面的重力加速度，可以求出金星的质量，故C正确。2(计算天体的密度)我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是()ABC DB该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v，又因为vr，所以轨道半径为r。根据万有引力提供向心力，有Gm
11、，得月球的质量为M，又因为月球的体积为VR3，所以月球的密度，故B正确。天体运动的分析与计算如图所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。(1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？(2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。(2)由Gmanmm2rmr表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。1天体运动的定性分析设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由Gm得v，r越大，天体的v越小。(2)由Gm2r得，r越大
12、，天体的越小。(3)由Gmr得T2，r越大，天体的T越大。(4)由Gman得an，r越大，天体的an越小。2天体运动的定量计算(1)解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：Gma，式中a是向心加速度。(2)常用的关系式：Gmm2rmr，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。mgG即gR2GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。【例2】有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。
13、现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：(1)它们与太阳间的万有引力之比；(2)它们的公转周期之比。解析(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比。(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有Gmr所以，天体绕太阳运动的周期T2则两天体绕太阳的公转周期之比。答案(1)(2)上例中，若r1r2，则两行星的运行的角速度1、2和线速度v1、v2的关系怎样？提示：12，v1v2.跟进训练3(天体运动的定性分析)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火
14、，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金R地R火，由此可以判定()Aa金a地a火Ba火a地a金Cv地v火v金Dv火v地v金A金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有Gma，解得aG，结合题中R金R地R火，可得a金a地a火，选项A正确，B错误；同理，有Gm，解得v，再结合题中R金R地R火，可得v金v地v火，选项C、D错误。4(天体运动的定量计算)我国古代神话传说中：地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的，则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为
15、27天)()A1B8C16D24B根据天体运动公式Gmr得，解得卫星运行的周期为3 h，故24 h内看到8次日出，故B正确。双星问题的分析与求解2019年7月，美国天文学家在最新一期自然杂志撰文称，他们发现了迄今已知宇宙中“运行速度最快的白矮星双星系统”“ZTF J15395027”，这一发现或对研究引力波具有重要意义。如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，在相互引力作用下，形成相互环绕运行的一个系统。它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。(1)两个天体做圆周运动所需的向心力有什么特点？(2)两个天体做圆周运动的周期和角速度有什么关系？提示：(1)大小相等。(2)双星做圆周运动的角速
16、度和周期都相同。1定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。2特点：(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1r1，m2r2。(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12。(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L。3两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即，与星体运动的线速度成正比。4几个基本结论(建议自行推导)(1)轨道半径：r1Lr2L。(2)星体质量：m1m2。(3)周期：T2L。【例3】(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相
17、距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积B质量之和C速率之和D各自的自转角速度思路点拨双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，结合牛顿第二定律求出双星总质量与双星距离和周期的关系式，从而分析判断。结合周期求出双星系统旋转的角速度和线速度关系。BC由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T s，两中子星的角速度均为，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，
18、则有：Gm12r1、Gm22r2，又r1r2L400 km，解得m1m2，A错误，B正确；又由v1r1、v2r2，则v1v2(r1r2)L，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。跟进训练5(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是()A这两颗恒星的质量必定相等B这两颗恒星的质量之和为C这两颗恒星的质量之比为m1m2R2R1D必有一颗恒星的质量为BCD对于两星有共同的周期
19、T，由牛顿第二定律得m1R1m2R2，所以两星的质量之比m1m2R2R1，C正确；由上式可得m1，m2，D正确，A错误；m1m2，B正确。1设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足()AGMBGMCGMDGMA本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。对行星有mr，故GM，选项A正确。2土星最大的卫星叫“泰坦”，如图。每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2106 km，已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，则土星的质量约为()A51017 kgB51026 kgC71033 kg
20、D41036 kgB卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。设土星质量为M，则有mR，解得M，代入数据计算可得M kg51026 kg，故B正确，A、C、D错误。3一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要()A测定飞船的运行周期B测定飞船的环绕半径C测定行星的体积D测定飞船的运行速度A取飞船为研究对象，由GmR及MR3，知，故A正确。4(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为71，由此可知()A甲、乙的线速度大小之比为71B甲、乙的向心力大小之比为11C甲、乙的运
21、行轨道半径之比为17D甲、乙的周期之比为17BC作为双星系统，甲、乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得m2rM2R，甲、乙质量比为71，所以甲、乙运行轨道半径之比为17，根据vr可知，线速度之比为17，故A错误，C正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲、乙向心力大小相等，故B正确；甲、乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D错误。5情境：在不久的将来，人类乘坐飞船去月球旅行或许会成为一种时尚，一个体重(连同装备)为200 kg的旅行者，在航行到离地球表面等于地球半径高度处。问题：若已知地球表面的重力加速度为10 m/s2，月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，求：(1)此时旅行者所受的地球引力是多少？(2)旅行者登上月球后所受的月球引力是多少？解析(1)设地球的质量为M，半径为R，旅行者在地面所受引力F1Gmg20010 N2 000 N旅行者在离地球表面等于地球半径高度处所受引力F2GGmg500 N。(2)旅行者在月球表面所受引力F3GGGmg395 N。答案(1)500 N(2)395 N
