1、第53课空间几何体的表面积与体积一、 填空题 1. 若一个长方体的长、宽、高分别为,1,则它的外接球的表面积是. 2. 若正四棱锥的底面边长为6,高为,则这个正四棱锥的侧面积是. 3. (2014福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于. 4. (2014山东卷)若一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为. 5. (2014全国卷)已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为. 6. 已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,那么以O为球心、OA为半径的球的表
2、面积为. 7. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上,则当PD=AB=2,且=时,的值为.(第7题) 8. (2014苏州模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在AA1,CC1上,且AE=AA1,CF=CC1,点A,C到BD的距离之比为32,则三棱锥E-BCD与F-ABD的体积之比为.(第8题)二、 解答题 9. (2014安徽卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,且平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1) 求证:GHEF;(2)
3、 若EB=2,求四边形GEFH的面积.(第9题)10. 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O底面ABCD,AB=AA1=.(1) 求证:平面A1BD平面CD1B1;(2) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.(第10题)11. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD的交点为G,AD平面ABE,AEEB,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BFCE.(1) 求证:AE平面BCE;(2) 求证:AE平面BFD;(3) 求三棱锥C-GBF的体积.(第11题)第53课空间几何体的表面积与体积1. 62. 48 3. 2解析:由题意知,所得圆柱的底面半
4、径和高均为1,所以圆柱的侧面积为2.4. 12解析:设六棱锥的高为h,则V=Sh,所以46h=2,解得h=1,设斜高为h,则h2+()2=h2,解得h=2,所以该六棱锥的侧面积为226=12.5. 解析:如图,因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE=AC=.设球心为O,球的半径为R,则OE=4-R,OA=R,由AOE为直角三角形,得OA2=OE2+AE2,即R2=(4-R)2+2,解得R=,所以球的表面积S=4R2=4=.(第5题)6. 24解析:设点O到底面的距离为h,则3h=,解得h=,OA=,故球的表面积为4()2=24. 7. 1解析:设ACBD=O,由AOBD,PDAO,得AO平面PD
5、E,由题意得AO=1,则=AOSPDE=,所以SPDE=1,在RtPDB中,DB=PD=2,则PB=2,SPDB=2,所以SBDE=1,所以=1.8. 解析:点A,C到BD的距离之比为32,所以=,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AE=AA1,CF=CC1,所以=,于是=.9. (1) 因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.(第9题)(2) 如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面上,所
6、以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2,得EBAB=KBDB=14,从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.再由POGK得GK=PO,即G是PB的中点,且GH=BC=4.由已知可得OB=4,PO=6,所以GK=3,所以四边形GEFH的面积S=GK=3=18.10. (1) 由题设知,BB1DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BDB1D1.又BD平面CD1B1,B1D1平面CD1B1,所以BD平面CD
7、1B1.因为A1D1B1C1BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1,D1C平面CD1B1,所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1B=B,所以平面A1BD平面CD1B1.(2) 因为A1O平面ABCD,所以A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又因为AO=AC=1,AA1=,所以A1O=1,又因为SABD=1,所以三棱柱ABD-A1B1D1的体积V=SABDA1O=1. 11. (1) 因为AD平面ABE,ADBC,所以BC平面ABE,又因为AE平面ABE,所以AEBC.又因为AEEB,BCEB=B,所以AE平面BCE.(2) 在矩形ABCD中,G是AC中点.因为EB=BC且BFCE.所以F是EC中点,所以在AEC中,FGAE.又因为FG平面BFD,AE平面BFD,所以AE平面BFD.(3) 因为F,G分别是EC,AC的中点,所以FGAE,且FG=AE=1.因为AE平面BCE,所以FG平面BCE.在RtBCE中,EB=BC=2,F是EC中点,所以SBCF=SBCE=BEBC=1,所以=SCFBFG=.