1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时参数方程和普通方程的互化学习目标：1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.理解参数方程与普通方程的互相转化与应用(难点)3.掌握参数方程化为普通方程的方法(重点)教材整理参数方程和普通方程的互化阅读教材P24P26，完成下列问题1曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程2如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致1将参数方程(为参数)化为普通方程为()
2、Ayx2Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)解析消去sin2，得x2y，又0sin21，2x3.答案C2圆x2(y1)22的参数方程为()A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)解析由xcos ，y1sin 知参数方程为(为参数)故选D.答案D普通方程化为参数方程【例1】曲线的普通方程为1，写出它的参数方程思路探究联想sin2cos21可得参数方程自主解答设cos ，sin ，则(为参数)，即为所求的参数方程1将圆的普通方程化为参数方程：(1)圆x2y2r2的参数方程为(为参数)；(2)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)2普通方程化为参数方程关键是引入参
3、数(例如xf(t)，再计算yg(t)，并且要保证等价性若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t)，yg(t)调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致1设ytx(t为参数)，则圆x2y24y0的参数方程是_解析把ytx代入x2y24y0得x，y，参数方程为(t为参数)答案(t为参数)利用参数思想解题【例2】已知x、y满足x2(y1)21，求：(1)3x4y的最大值和最小值；(2)(x3)2(y3)2的最大值和最小值思路探究设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决自主解答由圆的普通方程x2(y1)21得圆的参数方程为(0,2)
4、(1)3x4y3cos 4sin 445sin()，其中tan ，且的终边过点(4,3)55sin()5，145sin()9，3x4y的最大值为9，最小值为1.(2)(x3)2(y3)2(cos 3)2(sin 4)2268sin 6cos 2610sin()其中tan ，且的终边过点(4，3)1010sin()10，162610sin()36，所以(x3)2(y3)2的最大值为36，最小值为16.1参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁通过参数，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过
5、程它是研究解析几何问题的重要工具2运用参数思想解题的关键在于参数的选择选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数3(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题(2)注意运用三角恒等式求最值：asin bcos sin()其中tan (a0)，且的终边过点(a，b)2若本例条件不变，如何求的取值范围？解由于(0,2)，k，sin kcos k3，即sin()k3(由tan k确定)，sin().依题意，得1，21，解得k，即的取值范围是.参数方程化为普通方程
6、探究问题1参数方程为什么要化为普通方程？提示参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了2将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？提示(1)代入法先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程教科书例3(1)用的就是代入法(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数教科书例3(2)就用此法例如对于参数方程如果t是常数，是参数，那么可以利用公式sin2cos21；如果是常数，t是参数，那么适当变形后可以利用(mn)2(mn)24mn.【例3】在方程(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线？(2)当
7、t为常数，为参数时，方程表示何种曲线？思路探究(1)运用加减消元法，消t；(2)当t0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状自主解答方程(a，b是正常数)，(1)sin cos 得xsin ycos asin bcos 0.cos 、sin 不同时为零，方程表示一条直线(2)()当t为非零常数时，原方程组为22得1，即(xa)2(yb)2t2，它表示一个圆()当t0时，表示点(a，b)1消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或
8、加减消元之前要做必要的变形另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2cos21，(exex)2(exex)24，1等2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线3将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：(1)(为参数，0)；(2)(为参数)；(3)(a，b为大于零的常数，t为参数)解(1)将两式平方相加，得x2y24.0，2x2,0y2.即方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分(2)由得即xy0.0sin221，1sin221.即
9、方程xy0表示一条线段(3)x，t0时，xa，)，t0时，x(，a由x，两边平方可得x2，由y两边平方可得y2，并化简，得1(a，b为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1把方程xy1化为以t为参数的参数方程是()A.B.C. D.答案D2下列在曲线(为参数)上的点是()A. B.C(2，) D(1，)解析化为普通方程：y21x(1x1)，当x时，y.答案B3与参数方程(t为参数)等价的普通方程为()Ax21Bx21(0x1)Cx21(0y2)Dx21(0x1,0y2)解析x2t，1t1x2，x21，而由得0t1，从而0x1,0y2.答案D4在极坐标系中，圆C1的方程为4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程(为参数)，若圆C1与C2相外切，则实数a_.解析圆C1的直角坐标方程为x2y24x4y，其标准方程为(x2)2(y2)28，圆心为(2,2)，半径长为2，圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|2|a|3a.答案5化下列参数方程为普通方程(1)(tR且t1)；(2).解(1)变形为x1，y2，xy1(x1)(2)式平方结合得y2x22x，由xtan 知|x|2，所以方程为(x1)2y21(|x|2)- 9 - 版权所有高考资源网
