1、3.2.2奇 偶 性【素养目标】1理解奇函数、偶函数的概念(数学抽象)2掌握判断某些函数奇偶性的方法(逻辑推理)3掌握奇偶函数的图象特征(直观想象)4会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性(逻辑推理)【学法解读】1学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系2学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称必备知识探新知基础知识知识点1 函数的奇偶性前提函数f(x)的定义域为I，xI，都有xI条件f(x)_f(x)_f(x)_f(x)_结论函数f(x)叫_偶函数_函数f(x)叫_奇函数_思考1：(1)如果定义域内存在x
2、0，满足f(x0)f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(x)f(x)或f(x)f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？提示：(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称知识点2 图象特征(1)偶函数的图象关于_y_轴对称(2)奇函数的图象关于_原点_对称思考2：奇函数图象一定过原点吗？提示：若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)0，图象经过原点；若奇函数f(x)在x0处无意义，图象就不经过原点基础自测1判断下列说法是否正确，正确的打“”，错误的打“”(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(1)
3、f(1)，则f(x)一定是偶函数()(2)函数f(x)x2，x0，)是偶函数()(3)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()(4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(5)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()2下列图象表示的函数具有奇偶性的是(B)3下列函数是偶函数的是(A)Ay2x23Byx3Cyx2，x0,1 Dyx解析对于A：f(x)2(x)232x23f(x)，所以f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性4(2020南阳市高一期中测试)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上
4、的偶函数，则ab的值为(B)A0 B C1 D2解析由题意得，ab关键能力攻重难题型探究题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x1；(2)f(x)；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)分析(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？解析(1)函数f(x)x1的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)x1既不是奇函数又不是偶函数(2)使函数有意义满足，定义域为1，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数(3)函数f(x)|x2
5、|x2|的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以函数f(x)|x2|x2|是偶函数(4)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)21(x21)f(x)；当x0时，x0，f(x)(x)21x21(x21)f(x)综上可知，函数f(x)是奇函数注意由于这里的x0，因此应将x代入f(x)x21；由于这里的x0，因此应将x代入f(x)x21归纳提升判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择题、填空题中【对点练习】 判断下
6、列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)3x21；(3)f(x)；(4)f(x)0；(5)f(x)2x1；(6)f(x)解析(1)函数f(x)的定义域为(，0)(0，)关于原点对称，且f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)函数f(x)3x21的定义域为R，关于原点对称，且f(x)3(x)213x21f(x)，f(x)3x21是偶函数(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x2x(xx2)f(x)，当x0时，x0，f(x)xx2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(4)由于f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，f(x)0既是奇函数，又是
7、偶函数(5)函数f(x)2x1的定义域为R，关于原点对称f(1)3，f(1)1，f(1)3，f(1)f(1)，y2x1不是偶函数，又f(1)f(1)，y2x1不是奇函数，y2x1既不是奇函数，又不是偶函数(6)函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性题型二奇偶函数图象的应用例2设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，求不等式f(x)0的解集分析利用奇函数图象的对称性，画出函数f(x)在5,0上的图象，再根据图象写出不等式f(x)0的解集解析因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在5，5上的图象关于原点对称根据f(x
8、)在0,5上的图象画出在5,0上的图象，如图中虚线所示由图象知不等式f(x)0的解集为x|2x0或2x5归纳提升已知函数的奇偶性及部分图象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反【对点练习】 已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示(1)请补全完整函数yf(x)的图象；(2)根据图象写出函数yf(x)的增区间分析函数f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数yf(x)在x0时的图象解析(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1
9、,0)，(1，)题型三利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3试求f(x)在R上的表达式分析(1)如何把(，0)上的未知解析式转移到(0，)上的已知解析式？(2)奇函数f(x)在x0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知yf(x)是奇函数利用奇函数性质可求得解析式解析函数f(x)的图象关于原点对称f(x)为奇函数，则f(0)0，设x0，则x0，x0时，f(x)x22x3，f(x)f(x)(x22x3)x22x3于是有：f(x)归纳提升(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为
10、x，此时x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为x，构造方程组求解提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数，未必有f(0)0【对点练习】 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2x，求函数f(x)的解析式(2)已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解析(1)设x0，则x0，则f(x)(x)2(x)x2x又f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)x2x又函数定义域
11、为R，f(0)0，综上可知f(x)(2)设x0，则x0，f(x)(x)2(x)1x2x1，f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)x2x1当x(，0)时， f(x)x2x1题型四单调性与奇偶性的综合应用例4定义在(1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1a)f(13a)0，求实数a的取值范围分析利用f(x)是奇函数，把f(1a)f(13a)0变形为f(13a)f(a1)，再根据单调性列出不等式(组)求解解析原不等式化为f(13a)f(1a)因为f(x)是奇函数，所以f(1a)f(a1)所以原不等式化为f(13a)f(a1)因为f(x)是减函数，且定义域为(1,1)，所以有
12、解得0a所以实数a的取值范围是(0，)归纳提升解答这类题的思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解【对点练习】 已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围为(A)A(，)B，)C(，) D，)解析由于f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式f(2x1)f()，即2x1，解得x误区警示判断函数奇偶性时忽视定义域例5判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2，x(2,2；(2)f(x)(x1)错解(1)f(x)3(x)23x2f(x)，函数是偶函数(2)f(x)，f(x) f(x)，f(x)为
13、偶函数错因分析错解中忽略了函数的定义域，若一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数具有奇偶性的前提条件，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数，也不是偶函数正解(1)函数的定义域为(2,2，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1)，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数方法点拨判断函数奇偶性的步骤如下：(1)确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称(2)当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，此函数既不是奇函数也不是偶函数当函数的定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)的关系：若对于函数
14、f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)0，则f(x)为奇函数学科素养学科素养逻辑推理例6(1)(2021江西南昌高一检测)已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)(A)A26 B18C10 D10(2)(2021安徽合肥高一联考)已知函数yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，则f(1)(A)A3 B1C0 D2(3)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_2_分析本例题中的函数有一个共同的特征，即都可以写成一个奇函数与一个常数的和，我们可以基于奇函数图象关于原点成中心对称的性质来解
15、决解析(1)解法一：令g(x)x5ax3bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(2)g(2)，又f(x)g(x)8，f(2)g(2)810，g(2)18，g(2)g(2)18f(2)g(2)818826解法二：由已知条件，得，得f(2)f(2)16f(2)16f(2)161026(2)yf(x)x2是奇函数，f(1)1(f(1)1)又f(1)1，f(1)3(3)f(x)1，设g(x)，则g(x)为奇函数，f(x)的图象关于点(0,1)对称，Mm122归纳提升(1)若f(x)为奇函数，则f(a)f(a)0，f(x)minf(x)max0(2)若f(x)为奇函数，g(x)f(x)k(k为常数)，
16、则g(a)g(a)2k，g(x)ming(x)max2k课堂检测固双基1函数f(x)x的图象关于(C)Ay轴对称B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析因为x(，0)(0，)，且对定义域内每一个x，都有f(x)xf(x)，所以函数f(x)x是奇函数，其图象关于坐标原点对称2函数f(x)|x|1是(B)A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数解析f(x)|x|1|x|1f(x)，函数f(x)为偶函数3函数f(x)(x1)，x(1,1)(B)A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数解析x(1,1)，x10，f(x)(x1)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，选B4函数f(x)x22mx4是偶函数，则实数m_0_解析f(x)为偶函数，则对称轴为xm05定义在3，11,3上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小解析(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示(2)观察图象，知f(3)f(1)
