1、第三节 二项式定理 课前自主学案基础梳理1.二项式定理：(ab)n，通项：Tr1展开式具有以下特点：(1)项数：共有n1项；(2)系数：依次为组合数C0n，C1n，C2n，Cn-1n，Cnn；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开注意：使用二项式定理解题的规律是准确写出其通项2.组合恒等式(1)nk时，kCkn；(2)C0nC1nC2nCnn；(3)C0nC2nC4nC1nC3nC5n.3.二项式系数的性质二项式系数C0n，C1n，C2n，Cnn中，中间项的二项式系数最大，即当n是奇数时，最大；当n是偶数时，最大Crnan-r.brrrnnrrnbaC0n
2、C k-1n-12n-12n2121CCnnnn2Cnn基础达标1.(选修23P36练习12题改编)设(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0.3解析：令x0得：a0()49.392.(2010重庆改编)(x1)4的展开式中x2的系数为_解析：由通项公式得T3C24x26x2.63.(选修23P35练习1(3)改编)2102除以9的余数是解析：2102834(91)34(1)iC934i1，所以2102除以9的余数是1.330343419)1(iiiiC14.若的二项展开式中x3的系数为，则a_ (用数字作答)62)1(axx 25解析：Tr1Cr6(x2)6r(ax)1rCr6x
3、123rar，当r3时，x3项的系数C36a3 a 2.2525.(教材改编题)的二项展开式中，有理项的个数是 解析：Tr1Cr15()15r Cr15(r0,1,2，15)，当 r3,9,15时，为有理项153)1(xx xrx)1(36545rx3 课堂探究学案经典例题题型一 求特定项或特定项的(二项式)系数【例1】(1)求9展开式的常数项和中间两项；(2)(2010全国改编)(12 )3(1)5的展开式中x的系数是x3 x9)33(xx 解（1）Tr+1=Cr9()9-r=Cr9.32r-9.当9r0，r6时展开式是常数项，即常数项为T7C69332 268；的展开式共10项，它的中间两
4、项分别是第5项、第6项，T5C49389x9642x3，T6C593109 378 .(2)的展开式的通项为2rCr3(1)s(其中r0,1,2,3，s0,1，5)，令，得3r2s6，得x的系数是C354C232.3xrx)3(239x232159x3x1623 sr,2,0,03rsrsx的系数是C354C232.533)1()21(xx变式11(1)求(12x)7的展开式的第四项的系数；(2)(2010全国改编)求9的展开式中含x3项的系数及二项式系数解析：(1)(12x)7的展开式的第四项是T31C37(2x)3280 x3，(12x)7的展开式的第四项的系数是280.(2)的展开式的通
5、项是Tr1Cx9r(1)rCx92r，92r3，r3，含x3项的系数为(1)3C3984，含x3项的二项式系数为C3984.9)1(xx rx)1(题型二 求展开式各项的系数和【例2】已知等式(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9a10(x1)10，其中ai(i0,1,2，10)为实常数求：(1)的值；(2)的值101nan101nnna解(1)在(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9a10(x1)10中，令x1，得a01.令x0，得a0a1a2a9a102532.所以 a1a2a1031.(2)等式(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9
6、(x1)9a10(x1)10两边对x求导，得5(x22x2)4(2x2)a12a2(x1)9a9(x1)810a10(x1)9.在5(x22x2)4(2x2)a12a2(x1)9a9(x1)810a10(x1)9中，令x0，整理，得a12a29a910a10525160.101nnna变式21已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于解析：令x1得a0a1a2a3a4a50，令x1得a0a1a2a3a4a525，所以a0a2a416，a1a3a516，所以(a0a2a4)(a1a3a5)256.256题型三 二项式定理的应用【例3】设f
7、(x)是定义在R上的一个给定的函数，函数g(x)C0n f (1x)nx0Cf(1x)n1x1Cnn f(1x)0 xn(x0,1)(1)若f(x)1恒成立，求g(x)；(2)当f(x)x时，求g(x)(提示：可以利用公式)0(n11rnCCrnnr解(1)g(x)(1xx)n1(x0,1)(2)f(x)x，f (k0,1，n)(nknk11CCrnrnnrg(x)C0nx0(1x)nC1nx1(1x)n1Cnn xn(1x)00+)10()1()1(C)1(C)1(C)1()1(C10111111o1-n011)1(012,.xxxxxxxxxxxxxCxxnnnnnnnnnnnn)1(C)
8、1(C111)1)(1(11)1(1(kknkknknxxxxxkn)解 方法一：(nN*)方法二：设f(x)(1x)n.于是f(x)(1x)nn(1x)n1，又f(x)(kCknxk1)在中令x1，得f(1)n2n1，f(1)(kC)，故(kCkn)n2n1(nN*)【例】证明恒等式分析(1)利用nk时，kCknnCk-1n-1及求和符号的性质证明(2)利用倒序相加法证明(3)对二项式定理的恒等式求导后再用赋值法证明备选例题111111112).C().C().C(nnkknnkknnkknnknnk.nkn-knnn11N.2)(k.C)(*nkkknx0Cnkkknx0Cnkkknx0)
9、(Cnkkknx0)(Cnk 0nk 11.熟练掌握二项式定理(ab)nCrnanrbr的3种应用(正用，逆用及活用)2.记住以下5个组合恒等式，要求会用组合数公式，赋值法及“计算两次”方法之一证明：链接高考nr 0(2010江西)(2)8展开式中不含x4项的系数的和为知识准备：1.知道二项式定理展开式的通项表达式；2.会用赋值法求展开式的各项系数和解析：采用赋值法，令x1得系数和为1，x4项系数C8820(1)81，所以不含x4项的系数的和为0.答案：0 要点回顾x(1)nm时，CmnCn-mn；(2)CmnCm-1nCmn+1；(3)nk时，kCknnCk-1n-1；(4)C0nC1nC2
10、nCnn2n；(5)C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1.专题归纳专题一 对于如下几类：某几个元素不相邻、所有元素两两相同、某几个元素的顺序一定的排列组合等问题，我们可以采用“执果逆推”逆向思维方法：先给出该问题结果的某一排列或组合，然后逆推产生这一结果的过程，最后依据过程选择计数的方法1.某几个元素不相邻的排列组合问题【例1】如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于423的长方体框架(由24个棱长为一个单位的正方体框架组合而成)，一建筑工人从A点沿脚手架到B点，每步走一个单位长度，且不连续向上登攀，则其行走的最近路线共有条分析 假设建筑工人从A点沿脚手架到B点行走的一条最近路线依次是：向
11、右，向上，向北，向北，向上，向右，向上，向右，向右(共9步且向上的3步不相邻)，这一最近路线可看成从向右或向北的6步中选4步向右，剩下的2步向北，再将向上的3步插入到前6步形成的7个空隙中解 其行走的最近路线共有NC46C22C37525条2.所有元素两两相同的排列组合问题(也叫名额分配问题)【例2】方程x1x2x3x47的非负整数解的个数是_分析 若定义f：(x1，x2，x3，x4)(y1，y2，y3，y4)，则f是从方程x1x2x3x47的非负整数解集到方程y1y2y3y411的正整数解集的映射假设方程y1y2y3y411的一个正整数解是(y1，y2，y3，y4)(1,2,5,3)(1,1
12、1，11111,111)，这相当于将11个“1”排成一行后，用3块板子将它们隔成4部分，使每一部分至少有1个“1”解 方程y1y2y3y411正整数解的个数是NC310120，从而方程x1x2x3x47的非负整数解的个数也是120.分析 假设A、B两所希望小学及其余的3所小学分配的电脑台数分别是：2,3,1,0,0，这一分配方案可看成先将A、B两所希望小学各分配2台电脑，剩下的2台再分配给这5所小学，即相当于求方程x1x2x3x4x52的非负整数解的个数解 不同的分配方案共有NC4615种【例3】现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A、B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台
13、也没有，则不同的分配方案共有种3.某几个元素顺序固定的排列组合应用问题【例4】墙壁上挂着8个气球，一个神枪手每次选择一列最下方的一个球射击(假设每次射击必中)，则将气球全部击完的方式有 种 分析 设左边3个球由下到上依次是a1，a2，a3；中间2个球由下到上依次是b1，b2；右边3个球由下到上依次是c1，c2，c3.假设将气球全部击完的一种方式是b1，c1，c2，a1，b2，c3，a2，a3，这一方式可看成是将这8个元素进行全排列，且a0，a2，a3；b1，b2；c1，c2，c3分别按照由左到右的固定顺序排列解 将气球全部击完的方式有N560种33223388AAAA.【例5】一只蜘蛛早晨起床
14、给它的8只脚穿上袜子和鞋，每只脚先穿袜子后穿鞋，那么不同穿法种数是 (列式表示)分析 用ai1，ai2(i1,2，8)分别表示蜘蛛早晨起床穿上的第i只脚上的袜子和鞋假设一只蜘蛛早晨起床给它的8只脚穿上袜子和鞋的某一种穿法是：a81，a51，a82，a61，a41，a52，a31，a21，a42，a62，a11，a32，a22，a71，a72，a12.这一穿法可看成16个元素进行全排列，且ai1，ai2(i1,2，8)按照固定顺序排列得到的解 不同穿法种数N.8221616)(AA4.可化归为以上3种问题的排列组合问题【例6】某民航站设有A，B，C，D共4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅
15、客，一个小组4人进站的不同方案种数是分析 4名旅客用p，q，r，s表示假设一个小组4人进站的某一方案是：A“安检”入口无人通过；B“安检”入口由q，p依次通过；C“安检”入口r通过；D“安检”入口s通过，这一方案可看成先将4个名额分配到A，B，C，D这4个“安检”入口(相当于求方程x1x2x3x44非负整数解的个数)，再将p，q，r，s这4人进行全排列后按照分配到4个“安检”入口的名额依次进站解 所以一个小组4人进站的不同方案种数NC37A44840种分析 先求出二项展开式的通项Tr1，根据含x的负整数指数幂项中x的指数为负整数列方程(不等式)，写出r满足的关系式，得到r的解的个数解 Tr1C
16、r1010r =，令为负整数，得r4、6、8、10，共4项专题二 求二项展开式中特定的项【例8】在 展开式中，含x的负整数指数幂的项共有 项 10)21-(xxr)21(-x231010r)21(-rr xC5.求二项展开式中系数最大的项【例9】已知n的展开式中前三项的系数成等差数列(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项分析(1)本题前三项的系数成等差数列，而不是前三项的二项式系数成等差数列要将项的系数与二项式系数加以区别(2)系数最大的项的系数一定比它的前、后项的系数都大，根据这个性质列出不等式，缩小r的范围 解(1)由题设得C0nC2n2 C1n，即n29n80，解得n8或n1(舍去)，所以n的值为8.4121(2)设8的第r1项的系数最大，则18181818C21C21C21C21rrrrrrrr1)(r21819121rrr即解得r2或r3.所以系数最大的项为T37x5，T4.277x
