1、第三章 导数及其应用第三讲导数的综合应用拓展变式1.2018全国卷,12分已知函数f(x)=-x+aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:a-2.2.2020全国卷,12分已知函数f(x)=sin2xsin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性.(2)证明:|f(x)|.(3)设nN*,证明:sin2xsin22xsin24xsin22nx.3.2017全国卷,12分已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)(1+)m,求m的最小值.4.2019全国卷,12
2、分已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x, f (x)为f(x)的导数.(1)证明: f (x)在区间(0,)内存在唯一零点;(2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围.5.已知函数f(x)=-x+(x+a)ln x(aR)有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围; (2)当a=2时,已知函数f(x)的图象在A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x14.答 案第三讲导数的综合应用1.(1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=-1+=-.若a2,则f (x)0,当且仅当a=2,x=1时f (x)=0,所以f(x)在(0,+)上单调递减.若a2,令f (x)=0,得
3、x=或x=.当x(0,)(,+)时,f (x)0.所以f(x)在(0,)和(,+)上单调递减,在(,)上单调递增.(2)由(1)知,若f(x)存在两个极值点,则a2.因为f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.因为=-1+a=-2+a=-2+a,所以a-2等价于-x2+2ln x20.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减,又g(1)=0,所以当x(1,+)时,g(x)0.所以-x2+2ln x20,即0;当x(,)时,f(x)0.所以f(x)在区间(0,),(,)上单调递增,在区间(,)上单调递减.(2)由已
4、知知f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,上的最大值为f()=,最小值为f()=-.因为f(x+)=sin2(x+)sin(2x+2)=sin2xsin 2x=f(x),所以f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|.(3)由(2)得|sin2xsin 2x|,|sin22xsin 4x|,|sin22n-1xsin 2nx|,所以|sin2xsin32xsin34xsin32n-1xsin 2nx|()n,所以|sin3xsin32xsin32nx|()n|sin xsin22nx|()n,即|sin3xsin32xsin32nx|()3n,所以sin2xsin22xsin22
5、nx()3n=.3.(1)f(x)的定义域为(0,+).若a0,因为f()=-+aln 20,由f (x)=1-=知,当x(0,a)时,f (x)0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+)内的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0.故a=1.(2)由(1)知当x(1,+)时,x-1-ln x0.令x=1+,则ln(1+).从而ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+=1-1.故(1+)(1+)(1+)2,所以m的最小值为3.4.(1)设g(x)=f (x)(x(0,),则g(x)=cos x+xsin x-1,g(
6、x)=xcos x.令g(x)=0,得x=.当x(0,)时,g(x)0;当x(,)时,g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)内存在唯一零点.所以f (x)在(0,)内存在唯一零点.(2)由题设知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f (x)在(0,)内只有一个零点,设此零点为x0,且当x(0,x0)时,f (x)0;当x(x0,)时,f (x)0),则g(x)=-1-ln x,令g(x)=0,解得x=.当x(0,)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当x(,+)时,g(x)0).由题意可知,函数f(x)的图象在A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)两个不同的点处的切线互相平行,即f (x1)=f (x2),即m(x1)=m(x2).易得m(x)=-+=, 所以函数m(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.故由m(x1)=m(x2),可知必有0x122, 而m(x1)-m(4-x1)=+ln x1-ln(4-x1), 令h(x)=-+ln x-ln(4-x)(0x2),则h(x)=-+=-0,所以m(x1)-m(4-x1)0,即m(x1)m(4-x1),所以m(x2)m(4-x1).又函数m(x)在(2,+)上单调递增,所以x24-x1,即x1+x24.
