1、2.3.2平面与平面垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点)1. 通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面(3)画法： (4)记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.(5)二
2、面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关2平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：(3)记作：(4)判定定理：文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l，l思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面1如
3、图所示的二面角可记为()Al BMlNClMNDlB根据二面角的记法规则可知B正确2已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有一个B有两个C有无数个D不存在C经过l的任一平面都和垂直3如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小等于_ 90PA平面ABC，PAAB，PAAC，BAC为二面角BPAC的平面角，又BAC90.所以所求二面角的大小为90. 二面角的计算问题【例1】 如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB的余弦值解如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AMCD，BMCD.由二面角的定义可知AMB为二面角ACDB的平面角设点H是B
4、CD的重心，则AH平面BCD，且点H在BM上在RtAMH中，AM2，HM2，则cosAMB，即二面角的余弦值为.1求二面角的大小关键是作出平面角：求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小2确定二面角的平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角1如图，AC平面BCD，BDCD, ACAD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小证
5、明因为AC平面 BCD，BD平面 BCD，所以BDAC.又因为BDCD，ACCDC，所以BD平面 ACD.因为AD平面 ACD，所以ADBD，所以ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角在RtACD中，ACAD，所以ADC30.平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，在四面体ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.证明(1)法一：(利用定义证明)因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，S
6、D，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二：(利用判定定理)因为SASBSC，且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC，所以平面ABC平面SBC.证明面面垂直常用的方法：(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一
7、个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面2如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE平面ABCD.证明连接AC，设ACBDO，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是PAC的中位线，所以EOPC.因为PC平面ABCD，所以EO平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.线线、线面垂直的综合探究问题1如图所示，如何作出二面角PABQ的平面角？提示过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO棱AB于点O，连OP，则PO
8、H即为二面角PABQ的平面角2线面、面面垂直关系是如何转化的？提示欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可【例3】如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD平面EBD思路探究：(1)欲证A1EBD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；(2)要证平面A1BD平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面证明连接AC，设ACDBO，连接A1O，OE，(1)因为AA1底面ABCD，所以BDA1A，又BDAC，A1AACA，所以BD平面ACEA1，
9、因为A1E平面ACEA1，所以A1EBD.(2)在等边三角形A1BD中，BDA1O，因为BD平面ACEA1，OE平面ACEA1，所以BDOE，所以A1OE为二面角A1BDE的平面角在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EOa，A1Oa，A1E3a，满足A1E2A1O2EO2，所以A1OE90，即平面A1BD平面EBD.本例中，条件不变，试求二面角EBDC的正切值解连接AC交BD于O，连接OE(图略)由例题中(2)知，BDOE，BDOC.EOC为二面角EBDC的平面角设正方体棱长为a，则CE，OCa.在RtOCE中，tanEOC.所以二面角E
10、BDC的正切值为.线面、面面垂直的综合问题的解题策略：(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直. (2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用1求二面角大小的步骤 简称为“一作、二证、三求”2平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来
11、解决1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行B可能重合C相交且垂直D相交不垂直C由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.2从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A互为余角B相等C其和为周角D互为补角D画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于_45根据长方体中的位置关系可知，ABBC，A1BBC，根据二面角的平面角定义可知，ABA1 即为二面角ABCA1的平面角. 又ABAA1，且ABAA1，所以ABA1 4
12、5.4如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.证明：平面AB1C平面A1BC1.证明因为BCC1B1是菱形，所以B1CBC1，又B1CA1B，且BC1A1BB，所以B1C平面A1BC1，又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.线面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.证明因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.证明线
13、线平行常用如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行1如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.由线面垂直的性质定理，得al.面面垂直性质定理的应用【例2】如图，在三棱锥PABC中，P
14、A平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.1证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)；2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线2如图，四棱锥VAB
15、CD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.求证：平面VBC平面VAC.证明面VAB面ABCD，且BCAB，面VAB面ABCDAB，BC平面ABCD.BC面VAB，又VA平面VAB，BCVA，又VB面VAD，VBVA，又VBBCB，VA面VBC，VA面VAC，平面VBC平面VAC.线线、线面、面面垂直的综合应用探究问题试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示垂直问题转化关系如下所示：【例3】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.思路探究：(
16、1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DMAE，即证DM为AE的中垂线即可(2)(3)只需证明DM平面ECA即可证明(1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNCEDB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE.所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.本例条
17、件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小解如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BDa，由例题知，CEACBCAB2a，在CEN中，由知B为CN中点，CBBN2a.ABN中，ABN120，BANBNA30，CAN90，即NACA.又EC平面ABC，ECNA，又CACEC，NA平面ACE，NAAE，NAAC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在RtACE中，ACCE，CAE45.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45.垂直关系的互化及解题策略：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的
18、特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题1线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据2面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：1直线a与直线b垂直，直线b平面，则直线a与平面的位置关系是()AaBaCaDa或aDab，b，则a或a.选D.2已知l平面，直线m平面.有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的两个命题是()ABCDDl，l，m，lm，故正确；lm，l，m，又m，故正确3如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()APD平面ABCBPD平面ABCCPD与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABCBPAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC.4如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC底面ABCD，求证：平面SCD平面SBC.证明因为底面ABCD是矩形，所以BCCD.又平面SDC平面ABCD，平面SDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面SCD.又因为BC平面SBC.所以平面SCD平面SBC.
