1、山东省泰安市东平高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）考试时间120分钟，满分150分祝考试顺利注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题：卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必领用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案.不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
2、.1.已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算，由共轭复数概念即可得.详解】，.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除数运算，共轭复数的概念，考查学生对基本概念的理解.2.在的展开式中，常数项为（ ）A. B. 120C. D. 160【答案】C【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.【详解】展开式的通项 ，令 常数项故选：C【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由
3、通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数3.已知，则等于（ ）A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式求出，再求.【详解】由，得，故选C【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，若,则 .4.已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出该队员每次罚球的命中率【详解】解：某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，该队员每次罚球的命中率为，且在两次罚球中至少命中一次的概率为，解得或（
4、舍去）该队员每次罚球的命中率为故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题5.已知函数的图象在点处的切线方程为，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据函数在处的切线为得到一个关于，的关系，然后再根据恰有三个不同的零点，列出关于的不等式【详解】解：，因为函数在处的切线方程为所以，令，得，当或时，是增函数；当时，是减函数所以时，有极大值；当时，有极小值所以，若函数恰有三个不同的零点，则，解得故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，应用导数求函数的极值
5、和零点，同时考查学生的运算能力，属于基础题6.若.则的值为（ ）A. 1B. C. 0D. 2【答案】B【解析】【分析】令得，令得，从而计算可得；【详解】解：因为令得令得所以故选：B【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和，属于基础题.7.为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ）A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当
6、于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案.【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，所以不同的分配方法种数有：故选：C【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.8.已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（
7、 ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数在R上为增函数,等价于对恒成立，然后分离变量，得，求出的最小值，就能确定m的取值范围.【详解】因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为，所以故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键.二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.关于的说法，正确的是（ ）A. 展开式中的二项式系数之和为512B. 展开式中只有第5项的二项式系数最大C. 展开式中第5项和第6项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最小【答案】ACD【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式
8、及其性质即可判断出正误【详解】解：二项式展开式的通项为对于：二项式系数之和为，故正确；对于、：展开式共10项，中间第5、6项的二项式系数最大，故错误，正确；对于：展开式中各项的系数为，1，9当时，该项的系数最小故正确故选：ACD【点睛】本题考查了二项式展开式二项式系数的性质、以及系数与二项式系数的关系，需要熟记公式才能解决问题同时考查了学生的计算能力和逻辑推理能力10.已知函数，则（ ）A. 时，函数一定存在极值B. ，使C. 若是的极值点，则D. 若是的极小值点，则在区间单调递减【答案】BC【解析】【分析】求导得到，根据函数的极值和函数单调性的关系，零点性质，依次判断每个选项得到答案.【详解
9、】，则，取，函数单调递增，无极值点，A错误；当时，当时，故，使，B正确；若是的极值点，则，C正确；取，得到，则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，1是的极小值点，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了函数的极值点，零点，单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用，取特殊值排除是解题的关键.11.在棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（ ）A. 面B. 点到面的距离为C. 与面的夹角的余弦值为D. 二面角的大小为【答案】BC【解析】【分析】不垂直于，A错误，利用等体积法计算B正确，据B知，C正确，为二面角的平面角，D错误，得到答案.【详解】易知为等边三角形，故不垂直于，故不垂直平面
10、，A错误；，解得，B正确；设与面的夹角的余弦值为，据B知，故，C正确；为中点，易知，故为二面角的平面角，D错误.故选：BC.【点睛】本题考查了线面垂直，点面距离，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.已知函数，则以下结论正确的是（ ）A. 函数的单调减区间是B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若则【答案】ABD【解析】【分析】A选项，对函数求导，解对应不等式，可判断A；B选项，令，对其求导，研究单调性，根据零点存在定理，可判断B；C选项，先由得到，令，用导数的方法判断其单调性，即可判定C；D选项，令，则，令，对其求导，判定其单
11、调性，得到，令，根据题中条件，即可判定出D.【详解】A选项，因为，所以，由得，；由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确；B选项，令，则显然恒成立；所以函数在上单调递减；又，所以函数有且仅有一个零点；故B正确；C选项，若，可得，令，则，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，所以函数无最小值；因此，不存在正实数，使得成立；故C错；D选项，令，则，则；令，则，所以在上单调递减，则，即，令，由，得，则，当时，显然成立，所以对任意两个正实数，且，若则.故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方
12、法研究函数的性质即可，属于常考题型.三、填空题：13.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为_.（用数字作答）【答案】108【解析】分析】按个位数是0和5分类计数后可得所求的个数.【详解】若四位数的个位数为0，则没有重复数字的四位数的个数为，若四位数的个位数为5，则没有重复数字的四位数的个数为，故能被5整除的数的个数为108.故答案为：108.【点睛】本题考查排数问题，此类问题关键是特殊元素特殊处理，本题属于基础题.14.在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为_.
13、（附：若，则，.）【答案】【解析】【分析】本题首先可根据题意得出以及的值，然后结合正态分布的对称性即可得出结果.【详解】因为所有学生的数学成绩服从正态分布，所以，所以根据正态分布的对称性可知，故答案为：.【点睛】本题考查正态分布的相关性质，考查根据正态分布求概率，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.15.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球则3个小球颜色互不相同的概率是_；若变量为取出3个球中红球的个数，则的数学期望E（）为_【答案】 (1). (2). 【解析】分析】基本事件总数n1031000，3个小球颜色互不相同包含的基本事
14、件个数m103（23+33+53）180，由此能求出3个小颜色互不相同的概率；若变量为取出3个球中红球的个数，则（n，），由此能求出的数学期望E（）【详解】箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，基本事件总数n1031000，3个小球颜色互不相同包含的基本事件个数：m103（23+33+53）180，则3个小球颜色互不相同的概率是P；若变量为取出3个球中红球的个数，则（n，），的数学期望E（）3故答案为：，【点睛】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是中档题16.函数，关于的方程
15、恰有四个不同的实数解，则正数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】先利用导数求出函数的单调区间和极值，令，由题意可知，方程有两个不同的实数根，根据数形结合和韦达定理可知，一个根在内，一个根在内，再令，因为，所以只需，由此即可求出的取值范围【详解】解：，令得，或1，当时，函数在上单调递增，且，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，所以，令，因为关于的方程恰有四个不同的实数解，所以方程有两个不同的实数根，且一个根在内，一个根在内，或者两个根都在内，或者一根为，另一根在内； 因为为正数，所以，所以，都为正根，所以两个根不可能在内，也不可能一根为，另一根在内；所以实数根，且一个根在内，一个
16、根在内，令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题四、解答题：解箸应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.函数;(1)求在点处的切线方程;(2)求的极值.【答案】（1）（2）极小值2【解析】【分析】（1）求出，用直线的点斜式公式，即可求解；（2）由，求出在上的单调区间，即可求出结论.【详解】解:(1)设所求切线方程的斜率为,则又,故所求切线方程为:即(2)因为令,则;令,则,故函数在单调递减,在单调递增时,函数有极小值【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的极值，属于基础题.18.一
17、饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：单价（元）8.599.51010.5销量（杯）120110907060（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：，.【答案】（1）（2）单价应该定为10元【解析】【分析】（1）首先求出、，然后再求出、，即可求解. （2）设定价为元，利润函数为，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：（1）
18、由表中数据，则，所以关于的线性相关方程为.（2）设定价为元，则利润函数为，其中，则，所以（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属于基础题.19.已知三棱柱，平面，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可根据题意构造空间直角坐标系，然后写出与，最后根据向量的数量积公式即可得出结果；（2）本题首先可以求出平面的法向量以及平面的法向量，然后求出两法向量的夹角的余弦值，最后结合图像，即可得出结果.【详解】因为平面，所以如图，以为轴、为轴、为轴建立空间直
19、角坐标系，因为，所以，（1）因为，所以，所以异面直线与所成的角为，（2），设平面的法向量为则，化简得，取，设平面的法向量为，由图形可知二面角为锐角，故二面角的大小为.【点睛】本题考查异面直线所成角以及二面角的求法，可通过构造空间直角坐标系的方式求解，考查向量的数量积公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.20.2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40X200，单位：件注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X40，80）80，120）120，16
20、0）160，200）天数255010025若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”
21、，则P（A），由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率（2）由题意得每天配送蔬菜量X在40，80），80，120），120，160），160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车【详解】（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量
22、小于120件”，则P（A），随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p（2）由题意得每天配送蔬菜量X在40，80），80，120），120，160），160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y，若租赁1辆车，则Y的值为2000元，若租赁2辆车，则Y的可能取值为4000，1600，P（Y4000），P（Y1600），Y的分布列为： Y 4000 1600 P E（Y）40003700元若租赁3辆车，则Y的可能取值为6000，3600，1200，P（Y6000），P（Y3600），P（Y1200），Y的分布列为： Y 6000 3600 1200 P
23、E（Y）4800元，若租赁4辆车，则Y的可能取值为8000，5600，3200，800，P（Y8000），P（Y5600），P（Y3200），P（Y800），Y的分布列为： Y 8000 5600 3200 800 P E（Y）4700，4800470037002000，为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21.如图，四棱锥中，平面平面，且.（1）过作截面与线段交于点H，使得平面，试确定点H的位置，并给出证明；（2）在（1）的条件下，若二面
24、角的大小为，试求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）H为线段上靠近点P的五等分点，即，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于点证明，即可证明平面（2）以，为x，y轴的正方向，过点D作平面的垂线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可【详解】（1）如图，连接交于点E，由，易知相似于.，又平面，平面平面，即H为线段上靠近点P的五等分点，即.（2）由，相似于，可得，平面平面，且平面平面，平面，为二面角的平面角，又，又易知，平面，即是平面的法向量，如图，以，为x，y轴的正方向，过点D作平面的垂线为z轴建立空间直角坐标系，则，直线与平
25、面所成角的正弦值为.点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力22.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在区间上是减函数，在区间上是增函数；（2）【解析】【分析】（1）利用导函数的正负讨论函数的单调性；（2）不等式化为，结合（1）的结论，分析函数单调性，讨论函数最值，根据不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】解：（1）所以为增函数，又因为所以，当时，；当时，所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数（2）不等式化为设，由（1）可知是上的增函数，因为，所以，当，函数g(x)在区间上的增函数所以，所以当时符合题意.当，所以存在，使得；并且当；当；所以函数在区间上是减函数，在区间上是增函数最小值为，不等式不恒成立综上，使得命题成立的实数的取值范围是【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类讨论.
