1、章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1对任意实数，方程x2y2sin 4所表示的曲线不可能是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆解析：对任意实数，sin 1，1当sin (0，1)时，x2y2sin 4表示椭圆；当sin 1，0)时，x2y2sin 4表示双曲线；当sin 1时，x2y2sin 4表示圆答案：C2设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|F1F2|2，则该椭圆的标准方程为()A.1 B.y21C.y21 D.y21解析：因为|BF2
2、|F1F2|2，所以a2c2，所以a2，c1，所以b.所以椭圆的方程为1.答案：A3如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()Aa3 Ba2Ca3或a2 Da3或6a2答案：D4已知双曲线kx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.解析：由题意知，渐近线方程为xy0，所以k，所以e.答案：A5设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24x By28x Cy24x Dy28x解析：由抛物线方程可得抛物线焦点坐标为，又直线l斜率为2，故直线方程为y
3、2.故SOAF4，解得a8，故抛物线方程为y28x.答案：B6一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.解析：依题意有(2b)22a2c，即4b24ac，所以b2ac.又b2a2c2，所以a2c2ac.两边同除以a2并整理得10，即有e2e10，解得e或e(舍去)答案：B7已知点P是双曲线1右支上的一点，点M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A6 B7 C8 D9答案：D8直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm1或0m1Cm1且m5 D0m5且m1解析：直线ykx1过定
4、点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以1，解得m1且m5.答案：C9抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A. B. C. D3解析：设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值为.答案：A10已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上，则()A12 B2 C0 D4解析：由渐近线方程yx，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2y22，于是两焦点分别是F1(2，0)和F2(2，0)，且P(，1)或P(，1)不妨取点P(，1)，则(2，1)，(2，1)所以(2，1)(2，
5、1)(2)(2)10.答案：C11已知A，B，C，D是抛物线y24x上的四点，F为焦点，且0，则|()A4 B6 C8 D10解析：由题意得点F(1，0)，因为0，所以xA1xB1xC1xD10，所以xAxBxCxD4.由抛物线定义可得|xA1xB1xC1xD1448.答案：C12过椭圆1的中心作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A14 B16 C18 D20解析：如图，由椭圆的定义知|PF|PF1|2a.由椭圆的对称性知|QF|PF1|，所以有|PF|QF|2a.而|PQ|的最小值是2b，所以PFQ的周长最小值为2a2b.由椭圆的方程知a5，b4，所以P
6、FQ的周长的最小值为2a2b2(ab)18.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设集合A，B(x，y)|y2x，则AB的子集的个数是_解析：因为集合A，B(x，y)|y2x，且(0，1)在椭圆内，所以两曲线有两个交点，所以AB有两个元素，所以AB的子集的个数是224.答案：414设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|_答案：215已知F1，F2为椭圆1的左、右焦点，则该椭圆上能使F1PF290的点P共有_个解析：当点P位于椭圆短轴端点时，F1PF2最大，此时可得cosF1PF290.所以点P在短轴两侧各有2个，使得
7、F1PF290.答案：416.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_解析：因为正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，所以C，F.又因为点C，F在抛物线y22px(p0)上，所以，解得1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知F1和F2是双曲线16x29y2144的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小解：由16x29y2144，得1，所以a3，b4，c5，|PF1|PF2|2a6.所以cosF1PF20.所以F
8、1PF290.18(本小题满分12分)设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.求双曲线C的离心率e的取值范围解：由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解消去y并整理，得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且a1.所以双曲线的离心率e.因为0a且a1，所以e且e.故离心率e的取值范围为(，)19(本小题满分12分)已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解：(1)由已知得c2，解得a2，又b2a2
9、c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10，b0)与直线xy2相交于P，Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点(1)求的值；(2)若椭圆的离心率e满足e，求椭圆长轴长的取值范围解：(1)由消去y整理得(a2b2)x24a2xa2(4b2)0，设P(x1，y2)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由OPOQ，得x1x2y1y2x1x2(2x1)(2x2)0，化简得x1x2(x1x2)20，所以20，化简得.(2)因为e21，由e，得1，所以，又由(1)知b2，所以，因此，解得5a28，所
10、以a2，所以22a4，即椭圆的长轴长的取值范围为2，4 21(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上的一点，且满足1，过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点(1)求点P的坐标；(2)求证：直线AB的斜率为定值解：(1)F1，F2是椭圆1的两焦点，则c，即有F1(0，)，F2(0，)设P(x，y)，且x0，y0，则由1，得x2y23，又1，解得x1，y.所以点P的坐标为(1，)(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为yk(x1)，由于过点P的两条直线PA，PB的倾斜角互补，则直线PA的方程为yk
11、(x1)由消去y，得(2k2)x22k(k)x(k)240，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系，得1xB，xB，得yB，同理可得xA，yA，所以kAB为定值22(本小题满分12分)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解：(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4，即y22y0y8x0y0的两个不同的实数根所以y1y22y0.所以PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x00)，所以y4x04x4x044，5所以PAB面积的取值范围是.
