1、12 应用举例(一)学习目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神知识链接“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘预习导引1仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图2方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，
2、方位角的范围是0,2从指定方向线到目标方向线所成的小于 90的水平角叫方向角，如北偏东 30，南偏东 45.3坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度要点一 测量底部不能到达的建筑物的高度例 1 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为.已知铁塔 BC 部分的高为 h，求出山高 CD.解 在ABC 中，BCA90，ABC90，CAD，BAC.根据正弦定理得ACsinABCBCsinBAC，即ACsin90BCsin，AC BCcos sin hcos sin.在 RtACD 中，CDACsinCADACs
3、in hcos sin sin.答 山的高度为hcos sin sin.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化跟踪演练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶B 的仰角为 35，沿倾斜角为 20的斜坡前进 1 000m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65，则山的高度为_ m(精确到 1 m，sin350.574)答案 812解析 过点 D 作 DEAC 交 BC 于 E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD 中，由正弦定
4、理，ABADsinADBsinABD 1 000 2(m)在 RtABC 中，BCABsin 35812(m)要点二 测量仰角求高度问题例 2 如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45，BAD120，又在 B 点测得ABD45，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解 由于 CD平面 ABD，CAD45，所以 CDAD.在ABD 中，BDA1804512015，由 ABsin 15 ADsin 45，得 ADABsin 45sin 15 800 226 24800(31)(m)即山的高度为 800(31)m.规律方法 在运用正
5、弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪演练 2 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 和 D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为，求塔高AB.解 在BCD 中，BCD，BDC，CBD180()，BCsin ssin180，即 BCsin ssin.BCsin sins.在ABC 中，由于ABC90，ABBCtan，ABBCtan sin tan sin s.要点三 测量两个不能到达点之间的距离问题
6、例 3 如图，为测量河对岸 A、B 两点的距离，在河的这边测出 CD的长为 32km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求 A、B 两点间的距离解 在BCD 中，CBD1803010545，由正弦定理得 BCsin 30 CDsin 45，则 BCCDsin 30sin 45 64(km)在ACD 中，CAD180606060，ACD 为正三角形ACCD 32(km)在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 4534 6162 32 64 22 38，AB 64(km)所以河对岸 A、B 两点间距离为 64km.规律方法 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距
7、离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决跟踪演练 3 要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 100 3米的 C、D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A、B、C、D 在同一平面内)，求 A、B 两地的距离解 如图在ACD 中，CAD180(12030)30，ACCD100 3(米)在BCD 中，CBD180(4575)60，由正弦定理得 BC100 3sin 75sin 60200sin 75(米)在ABC 中，由余弦定理，得AB2(100 3)2(200sin 7
8、5)22100 3200sin 75cos 751002(341cos 15022 3sin 150)10025AB100 5(米)答 河对岸 A、B 两点间的距离为 100 3米1如图，在河岸 AC 上测量河的宽度 BC，测量下列四组数据，较适宜的是()Aa，c，Bb，c，Cc，a，Db，答案 D解析 由、可求出，由、b，可利用正弦定理求出 BC.故选 D.2如图，某人向东方向走了 x 千米，然后向右转 120，再朝新方向走了 3 千米，结果他离出发点恰好 13千米，那么 x 的值是_答案 4解析 由余弦定理：x293x13，整理得：x23x40，解得 x4.3甲、乙两楼相距 20 m，从乙
9、楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_m，_m.答案 20 3 4033解析 甲楼的高为 20tan6020 320 3(m)；乙楼的高为：20 320tan3020 320 33 40 33(m)4如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 A、B 两点的距离为_m.答案 50 2解析 由题意知ABC30，由正弦定理，得ACsinABCABsinACB，ABACsinACBsinABC 50 221250 2(m)5江岸边有一炮台高
10、30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.答案 30解析 设两条船所在位置分别为 A、B 两点，炮台底部所在位置为 C 点，在ABC 中，由题意可知AC30tan 3030 3(m)，BC30tan 4530(m)，C30，AB2(30 3)2302230 330cos 30900，AB30(m)1运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”
11、都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离2正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解一、基础达标1海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C岛和 A 岛成 75的视角，则 B、C 间的距离是()A10 3 n mileB.1
12、0 63n mileC5 2 n mileD5 6 n mile答案 D解析 由题意知，在ABC 中，AB10(n mile)，A60，B75，则 C180AB45.由正弦定理，得 BCABsin Asin C 10sin 60sin 45 5 6(n mile)2甲骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是()A6 kmB3 3 kmC3 2 kmD3 km答案 C解析 由题意知，AB24146(km)，B
13、AS30，ASB753045.由正弦定理，得 BSABsinBASsinASB 6sin 30sin 45 3 2(km)3如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 m 到位置 D，测得BDC45，则塔 AB 的高是()A10 mB10 2 mC10 3 mD10 6 m答案 D解析 在BCD 中，CD10(m)，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得 BCsin 45 CDsin 30，BCCDsin 45sin 30 10 2(m)在 RtABC 中，t
14、an 60ABBC，ABBCtan 6010 6(m)4在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为 2，继续在地面上前进 200 3 m 以后测得山峰的仰角为 4，则该山峰的高度为()A200 mB300 mC400 mD100 3 m答案 B解析 方法一 如图，BED，BDC 为等腰三角形，BDED600(m)，BCDC200 3(m)在BCD 中，由余弦定理可得cos26002200 32200 322600200 3 32，230，460.在 RtABC 中，ABBCsin4200 3 32 300(m)，故选 B.方法二 由于BCD 是等腰三角形，12B
15、DDCcos2，即 300200 3cos2.cos2 32，230，460.在 RtABC 中，ABBCsin4200 3 32 300(m)，故选 B.5如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A、B，望对岸标记物 C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_m.答案 60解析 在ABC 中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120(m)如图，作 CDAB，垂足为 D，则 CD 即为河的宽度由正弦定理得ACsinADCCDsinCAD，120sin 90 CDsin 30，CD60(m)河的宽度为 60 m.6如图，AB 是底部 B 不可到达
16、的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法解 选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一条直线上由在 G、H 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是、，CDa，测角仪器的高是 h.那么，在 ACD 中，根据正弦定理可得 AC asin sin，ABAEhACsin hasin sin sin h.二、能力提升7某人在 C 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10 m到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为()A15 mB5 mC10 mD12 m答案 C解析 如图，设塔高为 h，在 RtAOC 中，ACO45，则 O
17、COAh.在 RtAOD 中，ADO30，则 OD 3 h.在OCD 中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(3h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得 h10 或 h5(舍)8要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 2 mB400 mC200 3 mD500 m答案 D解析 由题意画出示意图，设高 ABh m，
18、在 RtABC 中，由已知得 BCh m，在 RtABD 中，由已知得 BD 3h，在BCD 中，由余弦定理 BD2BC2CD22BCCDcosBCD 得，3h2h25002h500，解之得 h500(m)故选 D.9如图所示，在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD，今在距离 B 点 60 m 的地面上取一点 A，若测得CAD45，求此电视塔的高度解 设 CDx m，BAC，则ABC 中，tan 306012.又DAB45，tanDABBDABx3060 tan(45)又 tan(45)tan 45tan 1tan 45tan 3.x3060 3，解得 x150 m.答 所以电视
19、塔的高度为 150 m.10如图，某人在塔的正东方沿着南偏西60的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔的高度解 在BCD 中，CD40 m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得CDsinDBCBDsinBCD，BDCDsinBCDsinDBC40sin 30sin 135 20 2(m)在 RtABE 中，tanAEBABBE，AB 为定值，故要使AEB 最大，需要 BE 最小，即 BECD，这时AEB30.在BCD 中，BDE1801353015，BEBDsinBDE20 2sin 1510(31)(m)在 RtABE 中，ABBEt
20、anAEB10(31)tan 30103(3 3)(m)答 塔的高度为103(3 3)m.11.如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度由 B 向 C 航行，航行的方位角是 140.A 处有一灯塔，其方位角是 110，在 C 处观察灯塔 A的方位角是 35，由 B 到 C 需航行半个小时，求 C 到灯塔 A 的距离解 在ABC 中，BC401220(km)，ABC14011030，ACB(180140)3575，BAC75.由正弦定理，得 ACsin 30 BCsin 75，ACBCsin 30sin 7510sin 45cos 30cos 45sin 30406 210(6 2)(km
21、)答 C 到灯塔 A 的距离为 10(6 2)km.三、探究与创新12如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75，30，于水面 C 处测得 B 点和D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离(计算结果精确到 0.01 km，21.414，62.449).解 在ADC 中，DAC30.ADC60DAC30，CDAC0.1(km)又BCD180606060，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，BDBA.在ABC 中，ABsinBCAACsinABC，即 ABACsin 60sin 15 3 2 620(km)因此，BD3 2 6200.33(km)，故 B，D 的距离约为 0.33 km.
