1、第八章 平面解析几何授课提示：对应学生用书第323页A组基础保分练1已知椭圆1的两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是()A.B2C2D答案：A2“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：B3(2021中山模拟)设椭圆：1(ab0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为()A.BC.D解析：如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且，即，解得e.答案：B4如图，
2、已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1B1C.1D1解析：依题意，设椭圆方程为1(ab0)，右焦点为F，连接PF.由已知，半焦距c2.又由|OP|OF|OF|，知FPF90.在RtPFF中，|PF|8.由椭圆的定义可知2a|PF|PF|4812，所以a6，于是b2a2c262(2)216，故所求椭圆方程为1.答案：C5已知椭圆1上一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则满足条件的点P有()A8个B6个C4个D2个答案：B6已知F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为
3、C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()A.BC.D3解析：如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，|BF1|BF2|a，所以|AF1|，|AF2|.所以.答案：A7(2021郑州模拟)已知椭圆1(ab0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为_答案：x218已知椭圆C：1(ab0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左
4、焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积解析：(1)由题意知，离心率e，|PF2|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可知F1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|.9已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解析：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有
5、OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.B组能力提升练1(2021昆明市高三质检)已知F是椭圆E：1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|2|QF|，且PFQ120，则椭圆E的离心率为()A.BC.D答案：C2设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，以F1F2为直径的
6、圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为()A.BC.D解析：因为e，故可设a3，c，则b2，SPF1F2b2tanb2tan 45|PF1|PF2|4，因为P在第一象限，所以|PF1|PF2|，又|PF1|PF2|2a6，故|PF1|4，|PF2|2，所以直线PF1的斜率kPF1.答案：B3(多选题)设椭圆C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A|PF1|PF2|2B离心率eCPF1F2面积的最大值为D以线段F1F2为直径的圆与直线xy0相切解析：对于A选项，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a2，所以A选项正确对于B选项，依题意a，b1
7、，c1，所以e，所以B选项错误对于C选项，|F1F2|2c2，当P为椭圆短轴顶点时，PF1F2的面积取得最大值，为2cbcb1，所以C选项错误对于D选项，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为c1，圆心到直线xy0的距离为1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线xy0相切，所以D选项正确答案：AD4(2021温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A.BC.D解析：设正方形的边长为2m，椭圆的焦点在正方形的内部，mc.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆1(ab0)上，1e2，整理得e43e210，e2，0e.
8、答案：B5若F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_答案：x216设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|2a|PF2|.所以|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|5,2a10，所以|PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5.答案：57(2020高考全国卷
9、)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解析：(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.由|CD|AB|得4c，即3222.解得2(舍去)或.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1.设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1.因为C2的准线为
10、xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)或c3.所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x.C组创新应用练1有一个高为12 cm，底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度忽略不计)，当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是()A.BC.D解析：由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为6，短轴长为6，所以椭圆的离心率e ，所以e.答案：C2(多选题)(2021山东六地市联考)某颗
11、人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则()AacmRBacnRC2amnDb解析：地球的中心是椭圆的一个焦点，由题图可得acmR，故A正确；acnR，故B正确；mn2a2R，可得2amn2R，故C不正确；(mR)(nR)a2c2b2，b，故D正确答案：ABD3(2021衡水模拟)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目.2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为_千米解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米由题意知解得2c85.即椭圆形轨道的焦距为85千米答案：85