1、2016年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知U=x|y=，M=y|y=2x，x1，则UM=（）A1，2）B（0，+）C2，+）D（0，13执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A4B6C7D84“x0，使a+xb”是“ab”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知x1，1，y0，2，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）ABCD6甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1
2、名至第5名（没有重复名次）已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A27种B48种C54种D72种7若函数f（x）同时满足以下三个性质；f（x）的最小正周期为；对任意的xR，都有f（x）=f（x）；f（x）在（，）上是减函数则f（x）的解析式可能是（）Af（x）=cos（x+）Bf（x）=sin2xcos2xCf（x）=sinxcosxDf（x）=sin2x+cos2x8在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1PQD1的余弦值的取值范围为（）A0，B0，C，D，
3、19设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（）A80B100C120D16010该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=_12若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_13某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数
4、据分析，这个经营部定价在_元/桶才能获得最大利润14在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）若直线2xy+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是_15已知函数f（x）=，其中常数a0，给出下列结论：f（x）是R上的奇函数；当a4时，f（xa2）f（x）对任意的xR恒成立；f（x）的图象关于x=a和x=a对称；若对x1（，2），x2（，1），使得f（x1）f（x2）=1，则a（，1）其中正确的结论有_（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70
5、之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30，第二组：（30，40，第五组：（60，70），并绘制成如图所示的频率分布直方图（）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为，求的分布列及数学期望17已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5， =，求CD的长18已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足Sn=（）2（nN*）（I）求数列an的通项公式；（II）设Tn为数列的前n项和，若Tnan+1对nN*
6、恒成立，求实数的最小值19如图，图为图空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形在图中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l（I）求证：l平面CDE；（II）在图中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由20已知椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2（）求椭圆E的方程；（）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C是否存在实数k，使得ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由21设函数g（x）=lnx，f（
7、x）=gx+（1）ag（x），其中a，是正常数，且01（）求函数f（x）的最值；（）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|1|m成立？并说明理由；（）设10，20，且1+2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a11a221a1+2a22016年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：z（1+i）=i，z（1+i）（1i
8、）=i（1i），z=，则复数z所对应的点在第一象限故选：A2已知U=x|y=，M=y|y=2x，x1，则UM=（）A1，2）B（0，+）C2，+）D（0，1【考点】补集及其运算【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可【解答】解：U=x|y=x|x1，M=y|y=2x，x1=y|y2，则UM=1，2），故选：A3执行如图所示程序框图，则输出的n为（）A4B6C7D8【考点】程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=3时，满足条件S3，退出循环，输出n的值为8【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1执行循环体后，S=1，n=2不满足条件S3，
9、执行循环体后，S=log，n=3不满足条件S3，执行循环体后，S=2，n=4不满足条件S3，执行循环体后，S=log，n=5不满足条件S3，执行循环体后，S=log，n=6不满足条件S3，执行循环体后，S=log，n=7不满足条件S3，执行循环体后，S=log=3，n=8此时，满足条件S3，退出循环，输出n的值为8故选：D4“x0，使a+xb”是“ab”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由于“x0，使a+xb”与“ab”成立等价，即可判断出关系【解答】解：“x0，使a+xb”“ab”，“x0，使a+xb”
10、是“ab”成立的充要条件故选：C5已知x1，1，y0，2，则点P（x，y）落在区域内的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为故选B6甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A27种B48种C54种D72种【考点】计数原理的应用【分析】由题意可知，第一名从丙、丁
11、和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得【解答】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，故有A31A31A33=54种，故选：C7若函数f（x）同时满足以下三个性质；f（x）的最小正周期为；对任意的xR，都有f（x）=f（x）；f（x）在（，）上是减函数则f（x）的解析式可能是（）Af（x）=cos（x+）Bf（x）=sin2xcos2xCf（x）=sinxcosxDf（x）=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可【
12、解答】解：根据题意，函数应满足：f（x）的最小正周期为；对任意的xR，都有f（x）+f（x）=0，用x+替换式中的x可得f（x）+f（x）=0，即函数的图象关于点（，0）对称；f（x）在（，）上是减函数；对于A，f（x）=cos（x+）的周期为T=2，不符合，故不满足题意；对于B，f（x）=sin2xcos2x=sin（2x），不符合，故不满足题意；对于C，f（x）=sinxcosx=sin2x，不符合，故不满足题意；对于D，f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），符合，满足题意故选：D8在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如
13、图当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1PQD1的余弦值的取值范围为（）A0，B0，C，D，1【考点】二面角的平面角及求法【分析】根据BQ+QD1的长度取得最小值时，利用函数数学求出Q是CC1的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法结合函数的单调性进行求解即可【解答】解：设AA1=1，则AB=BC=，设CQ=x，则C1Q=1x，则BQ=，QD1=，则BQ+QD1=+=+，设M（x，0），N（0，），K（1，），则BQ+QD1=+=+的几何意义是|MN|+|MK|的距离，则当三点M，N，K共线时，BQ+QD1的长度取得最小值，此时得x=，即Q是CC1的中点，建立以D1为坐标原点，D1
14、A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则Q（0，），B1（，0），设P（0，t，1），0t则=（，0，），=（，t，1），则平面PQD1的法向量为=（1，0，0），设平面B1PQ的法向量为=（x，y，z），当t=时，二面角B1PQD1的为直二面角，此时二面角B1PQD1的余弦值为0，当0t时，由，则，即，令x=，则y=，z=4，即=（，4），设面角B1PQD1的余弦值cos，则cos=，0t，cos=为减函数，则当t=0时，函数取得最大值cos=，故二面角B1PQD1的余弦值的取值范围为0，故选：B9设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且=0，过点A
15、（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（）A80B100C120D160【考点】抛物线的简单性质【分析】设直线MN的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合=0，可求t的值，即可求出|MN|关于m的表达式，同理求出|PQ|关于m的表达式，于是S=|MN|PQ|，利用换元法求出S的最小值【解答】解：设直线MN方程为x=my+t，联立方程组，消元得：y24my4t=0，设M（，y1），N（，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4t=0，+y1y2=0，即y1y2=0（舍）或y1y2=16|MN|=PQMN，且PQ经过点A（4，0），直线PQ的
16、方程为x=联立方程组，消元得：y2+16=0设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4=，y3y4=16|PQ|=四边形MPNQ面积S=|MN|PQ|=8=8，令m2+=t，则t2，S=8=8S（t）在2，+）上是增函数，当t=2时，S取得最小值8=80故选：A10该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11已知向量=（t，1）与=（4，t）共线且方向相同，则实数t=2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线的坐标表示列式求得t值，结合向量同向进行取舍得答案【解答】解： =（t，1）=（4，t），与共线，t24=0，解得t=2又与同向，
17、t=2故答案为：212若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为540【考点】二项式系数的性质【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为=540，故答案为：54013某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据分析，这个经营部定价在11.5元/桶才能获得最大利润【考点】函数的最值及其几何意义【分析】通
18、过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论【解答】解：设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y=（6+x5）200，=40x2+440x+280（0x13），400，当x=5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，故答案为：11.514在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）若直线2xy+m=0上存在点P，使得PA=PB，则实数m的取值范围是2m2【考点】两点间距离公式的应用【分析】根据题意，设出点P（x，2x+m），代入PA=PB化简得5x2+4mx+m24=0，由=16m245（
19、m24）0，求出实数m的取值范围【解答】解：设P（x，2x+m），PA=PB，4|PA|2=|PB|2，4x2+4（2x+m1）2=x2+（2x+m4）2，化简得5x2+4mx+m24=0，则=16m245（m24）0，解得2m2，即实数m的取值范围是2m2故答案为：15已知函数f（x）=，其中常数a0，给出下列结论：f（x）是R上的奇函数；当a4时，f（xa2）f（x）对任意的xR恒成立；f（x）的图象关于x=a和x=a对称；若对x1（，2），x2（，1），使得f（x1）f（x2）=1，则a（，1）其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）【考点】分段函数的应用【分析】利用奇函数的定义进行判
20、断；函数在（，a），（a，+）上单调递减，在（a，a）上单调递增，即可判断；f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；取a=1，得出f（x1）f（x2）=1不恒成立【解答】解：设x0，则x0，f（x）=|x+a|a，f（x）=a|ax|=a|x+a|=f（x），同理，设x0，则x0，f（x）=a|x+a|，f（x）=|x+a|a=|xa|a=f（x），f（x）=f（x），f（x）是R上的奇函数，正确；函数在（，a），（a，+）上单调递减，在（a，a）上单调递增，当a4时，f（xa2）f（x）对任意的xR恒成立，不正确；f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，
21、故不正确；取a=1，x1（，2），f（x1）（0，+），x2（，1），f（x2）（1，+），f（x1）f（x2）=1不恒成立，故不正确故答案为：三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30，第二组：（30，40，第五组：（60，70），并绘制成如图所示的频率分布直方图（）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为，求的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量
22、的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）由频率分布直方图先求出第四组的频率，由此能求出第四组的人数；利用频率分布直方图的性质能求出中位数（II）先求出第一组有2人，第五组有4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为，则=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及E（）【解答】解：（I）由频率分布直方图得第四组的频率为：1（0.004+0.016+0.04+0.008）10=0.32，第四组的人数为0.3250=16人，前2组的频率为（0.004+0.016）10=0.2，第三组的频率为0.0410=0.4，设中位数
23、为x，则x=40+=47.5，中位数为47.5（II）据题意，第一组有0.0041050=2人，第五组有0.0081050=4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为，则=0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为：012PE（）=117已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA（1）求A的大小；（2）若cosB=，BC=5， =，求CD的长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；（2）在ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再
24、在BCD中使用余弦定理求出CD【解答】解：（1）在ABC中，b=acosC+csinA中，sinB=sinAcosC+sinCsinA，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，cosAsinC=sinCsinA，sinC0，cosA=sinA，tanA=1（2）cosB=，sinB=，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=在ABC中，由正弦定理得，即，解得AB=7=，BD=在BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC22BCBDcosB=1+252=20CD=218已知各
25、项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足Sn=（）2（nN*）（I）求数列an的通项公式；（II）设Tn为数列的前n项和，若Tnan+1对nN*恒成立，求实数的最小值【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）当n=1时，求得a1，Sn=（）2（nN*）化简求得anan1=2，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，求得通项公式；（），求出前n项和，比较an+1，判断其单调性，求出的最小值【解答】（I）当n=1时，解得a1=1，当n2时，整理得（an+an1）（anan12）=0an0，an+an10anan1=2，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an=2n1（II），；由题意得对n
26、N*恒成立，令，则，即bn+1bn对nN*恒成立，即数列bn为单调递减数列，最大值为，即的最小值为19如图，图为图空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形在图中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l（I）求证：l平面CDE；（II）在图中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（I）根据主视图和侧视图可得ADDE，ADDC，故而AD平面CDE，根据AD平面BCEF可得ADl，故l平面CDE（II）以以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐
27、标系，设M（0，0，m），求出平面BEF的法向量和的坐标令|cos，|=解出m，即可判断M的位置【解答】证明：（I）由侧视图可知四边形ADEF是正方形，ADEF，又EF面BEF，AD面BEF，AD面BEF又AD平面ABCD，面ABCD面BEF=l，ADl，由主视图可知，ADCD，由侧视图可知DEAD，AD平面CDE，CD平面CDE，ADCD=D，AD面CDE，l面CDE（II）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（1，0，1）设M（0，0，m）（0m1），则，设平面BEF的一个法向量为=（
28、x，y，z），则， =0，令z=1，得=2m，|=，|=cos=，解得或m=6（舍）当M为DE的靠近E的三等分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于20已知椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2（）求椭圆E的方程；（）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C是否存在实数k，使得ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，求出a，b，由此能求出椭圆方程（）依题
29、意知BCAC，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则kBC=1， =1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则kBC=1， =1，由此能求出存在满足条件的k值【解答】解：（）设焦点F（c，0），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，a2=2c2，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，=1，a2=b2+c2，a2=4，b2=2，椭圆E的方程为=1（）依题意知BCAC，且BCO=ACO=45，于是直线BC的斜率kBC=1，直线AC的斜率kAC=1设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则kBC=1， =1，设A（x1，y1），B（x2，
30、y2），C（0，y0），则kBC=1， =1，联立，得x1+x2=k（x2x1），联立，得（1+2k2）x2+4kx2=0，将式平方，并式代入，得4k2+1=2，或k2=0，存在满足条件的k值，分别为k=或k=021设函数g（x）=lnx，f（x）=gx+（1）ag（x），其中a，是正常数，且01（）求函数f（x）的最值；（）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|1|m成立？并说明理由；（）设10，20，且1+2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a11a221a1+2a2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求
31、出函数的最值即可；（），设（x）=ln（x+1）+（m1）x，m0，x0，根据函数的单调性判断即可；（）先得到lnx+lna1lnx+（1）a令1=，2=1，a1=x，a2=a，代入整理即可证出结论【解答】解：（I），a0，10，0，x0，当xa时，f（x）0；0xa时，f（x）0，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，f（x）有最小值f（a）=（1）lna，没有最大值；（II）对m0，x00使得成立，其理由如下：令h（x）=ln（x+1）x，则h（x）0，所以h（x）在0，+）单调递减，于是可得当x0时，ln（x+1）x0，故，设（x）=ln（x+1）+（m1）x，m0，x0，则，当m1时，（x）0，（x）在（0，+）上单调递增，对于x00均有（x0）（0）=0恒成立，当0m1时，由（x）0可得，由（x）0可得，于是（x）在是增函数，在是减函数，对于均有（x0）（0）=0恒成立，综上，对于任意的正数m，都存在正数x0满足条件；证明：（III）由（I）知，对x0，a0，01时，都有lnx+（1）alnx（1）lna即lnx+lna1lnx+（1）a令1=，2=1，a1=x，a2=a，则，y=lnx在（0，+）上是增函数，2016年9月9日
