1、2.2.1椭圆及其标准方程自主预习探新知情景引入椭圆是一种美丽的曲线，它具有形状美和科学美“神舟”六号载人飞船进入预定轨道绕地球飞行，其运行的轨道就是以地球中心为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及椭圆的方程，这样我们能算出“神舟”六号绕地飞行的轨迹方程新知导学1椭圆的概念平面内与两个定点F1、F2的距离的_和_等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_焦点_，_两焦点_间的距离叫做椭圆的焦距当常数等于|F1F2|时轨迹为_线段F1F2_，当常数小于|F1F2|时，轨迹_不存在_.2椭圆的标准方程当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为_1(ab0)_；当焦
2、点在y轴上时，椭圆的标准方程为_1(ab0)_.其中在椭圆的标准方程中a，b，c的关系为_a2b2c2_.预习自测1设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|10，则动点M的轨迹是(A)A椭圆B直线C圆D线段解析|MF1|MF2|10|F1F2|6，由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆2设P是椭圆1上的任意一点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于(A)A4B2C2D解析|PF1|PF2|2a4，选A3椭圆1的焦距是2，则m的值是(C)A5B3或8C3或5D20解析2c2，c1，故有m41或4m1，m5或m3，故选C4(浙江丽水市20192020学年高二质监)椭
3、圆1的焦点坐标是(A)A(0，1)B(1,0)C(0，)D (，0)解析椭圆1，可得a，b，可得c1，所以椭圆的焦点(0，1)故选A5若椭圆1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是_4_.解析由椭圆定义知，|PF1|PF2|2a10，|PF2|10|PF1|1064.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向椭圆的定义典例1已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程规范解答设圆P的半径为r，又圆P过点B，|PB|r，又圆P与圆A内切，圆A的半径为10.两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|
4、)点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6，a5，c3.b2a2c225916.即点P的轨迹方程为1.规律总结1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件2椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆(2)若点M在椭圆上，则|MF1|MF2|2a.跟踪练习1_已知ABC的周长是8，且B(1,0)、C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(A)A1(x3)B1(
5、x0)C1(y0)D1(y0)解析|AB|AC|8|BC|6|BC|2，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，设其方程为1(ab0)，则a3，b2.又A、B、C三点不共线，顶点A的轨迹方程为1(x3)命题方向椭圆的标准方程典例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；(2)焦点在坐标轴上，且经过A(，2)和B(2，1)两点思路分析(1)由焦点坐标知道椭圆焦点在y轴，c5，由椭圆定义知a13，所以b12.(2)由于不知道焦点在x轴还是y轴，所以设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，代入两点坐标，可求得系数规范
6、解答(1)因为焦点在y轴上，所以设其标准方程为1(ab0)因为2a26,2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆方程为1.(2)设所求椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，依题意，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.规律总结1.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤：(1)定位，确定焦点在哪个轴上；(2)定量，依据条件及a2b2c2确定a、b、c的值；(3)写出标准方程2求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为1(m0，n0，mn)，再根据条件确定m、n的值3当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，将点的坐标代入解方程组求得系数
7、跟踪练习2_根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)经过点P(1，)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上；(2)经过点(2，3)且与椭圆9x24y236有共同的焦点解析(1)设椭圆的标准方程为1，(ab0)，焦点在x轴上，2c2，a2b21，又椭圆经过点P，1，解之得b23，a24.椭圆的标准方程为1.(2)椭圆9x24y236的焦点为(0，)，则可设所求椭圆方程为1(m0)，又椭圆经过点(2，3)，则有1，解得m10或m2(舍去)，即所求椭圆的方程为1.命题方向椭圆的焦点三角形典例3已知椭圆1(ab0)上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若F1PF2，求F1PF2的面积规范解答由椭圆的定义，有|PF
8、1|PF2|2a，而在F1PF2中，由余弦定理得，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos4c2，即4a24c22|PF1|PF2|(1cos)SPF1F2|PF1|PF2|sinb2b2tan.规律总结1.椭圆定义的应用(1)实现两个焦点半径之间的相互转化(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题2椭圆定义解题的整体思想对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知F1PF2，可利用SabsinC把|PF1|PF2|看成一个整体
9、，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量跟踪练习3_设P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2的面积解析由余弦定理得cos60，|PF1|PF2|PF1|2|PF2|225(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|253|PF1|PF2|(25)22575，|PF1|PF2|25，SPF1F2|PF1|PF2|sin6025.学科核心素养 椭圆的其他方程形式(1)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2By21(其中A0，B0，AB
10、)方程Ax2By21(其中A0，B0，AB)包含椭圆的焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，方程可变形为1.当，即BA时，表示焦点在x轴上的椭圆；当，即Bb0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)；与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)典例4(1)若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围；(2)椭圆8k2x2ky28的一个焦点为(0，)，求k的值思路分析将椭圆的方程化为标准方程，运用题设中给出的条件求解规范解答(1)原方程可化为1.因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得0k1.所以k的取值范围是(0,1)(2)原方程可化为1.依题意，得解得所以k的值为1
11、或. 规律总结由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)，在求解这类问题时，必须先确定焦点位置，从而可得a2，b2的值当焦点不确定时，应注意分类讨论，分别求值另外，应注意当a2b2时，方程表示圆，应排除这种情况跟踪练习4_若方程1表示椭圆，求k的取值范围解析依题意，得解得3kbc)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程错解设点B的坐标为(x，y)a、b、c成等差数列，ac2b，即|BC|BA|2|AC|，|BC|BA|4.根据椭圆的定义易知，点B的轨迹方程为1.辨析错误的原因是忽略了题设中的条件abc，使变量x的范围扩大，从而导致错误另外一处错误是当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形正解ac，即，解得x0.又点B不在x轴上，x2.故所求的轨迹方程为1(2x0)规律总结要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x或y的取值范围
