1、考点巩固训练15导数在函数单调性、极值中的应用一、选择题1函数f(x)的单调递减区间是()Ae，) B1，)C0，e D0,12f(x)x33x23x的极值点的个数是()A0 B1C2 D33设f(x)kx2ln x，若f(x)在其定义域内为单调增函数，则k的取值范围是()A(，1 B1，)C(，1 D1，)4已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()Af(x)0，g(x)0Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0，g(x)0Df(x)0，g(x)05定义在R上的函数yf(x)，满足f(3x)f(x)，f(x)0，若x1x2，且x1x23
2、，则有()Af(x1)f(x2) Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不确定6已知向量a，b满足|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上单调递增，则a，b的夹角的取值范围是()A BC D7已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0其中正确结论的序号是()A BC D二、填空题8已知函数f(x)(m2)x2(m24)xm是偶函数，函数g(x)x32x2mx5在(，)内单调递减，则实数m的值为_9已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处
3、取得极值10，则f(2)_10已知某质点的运动方程为s(t)t3bt2ctd，如图所示是其运动轨迹的一部分，若t时，s(t)3d2恒成立，则d的取值范围为_三、解答题11(江苏高考)若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)f(f(x)c，其中c2,2，求函数yh(x)的零点个数12设函数f(x)xaln x(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，假设过点A
4、(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线的斜率为k问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1A解析：令f(x)0，则xe又当xe时，f(x)不恒等于0，f(x)的单调递减区间是 e，)2A解析：由题知f(x)的导函数值恒大于或等于零，所以函数f(x)总单调递增3B解析：由f(x)k，令h(x)kx22xk，要使f(x)在其定义域(0，)上单调递增，只需h(x)在(0，)内满足h(x)0恒成立由h(x)0得kx22xk0，即k在x(0，)上恒成立，x0，x21k14B解析：由题意可知yf(x)是奇函数，yg(x)是偶函数x0时，yf(x)，yg
5、(x)是增函数，x0时，yf(x)是增函数，yg(x)是减函数，即x0时，f(x)0，g(x)05A解析：由已知条件知，f(x)以x为对称轴，且当x时，f(x)单调递减，当x时，f(x)单调递增，而x1x23，x1更靠近对称轴f(x1)f(x2)6B解析：易得f(x)x2|a|xab，函数f(x)x3|a|x2abx在R上单调递增时，方程x2|a|xab0的判别式|a|24ab0，设a，b的夹角为，则|a|24|a|b|cos 0，将|a|2|b|0代入上式得12cos 0，即cos ，又0，故07C解析：设g(x)x36x29x0，则x10，x2x33，其图象如下图：要使f(x)x36x29
6、xabc有3个零点，需将g(x)的图象向下平移，如图所示：又f(x)3x212x90时，x11，x23，即得f(1)是极大值，f(3)是极小值故由图象可知f(0)f(1)0，f(0)f(3)0二、填空题82解析：f(x)(m2)x2(m24)xm是偶函数，m240，m2函数g(x)x32x2mx5在(，)内单调递减，g(x)3x24xm，g(x)恒小于等于01612m0m，m2918解析：f(x)3x22axb，由题意得即得或但当a3，b3时，f(x)3x26x30，故不存在极值，a4，b11，f(2)1810d或d1解析：质点的运动方程为s(t)t3bt2ctd，s(t)3t22btc由图可
7、知，s(t)在t1和t3处取得极值则s(1)0，s(3)0，即s(t)3t212t93(t1)(t3)当t时，s(t)0；当t(1,3)时，s(t)0；当t(3,4)时，s(t)0，当t1时，s(t)取得极大值4d又s(4)4d，当t时，s(t)的最大值为4d当t时，s(t)3d2恒成立，4d3d2，即d或d1三、解答题11解：(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3(2)由(1)知f(x)x33x因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2当x2时，g(x)0；当2x1时
8、，g(x)0，故2是g(x)的极值点当2x1或x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2(3)令f(x)t，则h(x)f(t)c先讨论关于x的方程f(x)d根的情况，d2,2当|d|2时，由(2)可知，f(x)2的两个不同的根为1和2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)2的两个不同的根为1和2当|d|2时，因为f(1)df(2)d2d0，f(1)df(2)d2d0，所以2，1,1,2都不是f(x)d的根由(1)知f(x)3(x1)(x1)当x(2，)时，f(x)0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)f(2)2，此时f(x)d无实根同理，f(x)d在(，2)上无实
9、根当x(1,2)时，f(x)0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)d0，f(2)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,2)内有唯一实根同理，f(x)d在(2，1)内有唯一实根当x(1,1)时，f(x)0，故f(x)是单调减函数，又f(1)d0，f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,1)内有唯一实根由上可知：当|d|2时，f(x)d有两个不同的根x1，x2满足|x1|1，|x2|2；当|d|2时，f(x)d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|2，i3,4,5现考虑函数yh(x)的零点当|c|2时，f(t)c有两个根t1，t2满足|t1|1，|t2|
10、2，而f(x)t1有三个不同的根，f(x)t2有两个不同的根，故yh(x)有5个零点当|c|2时，f(t)c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|2，i3,4,5，而f(x)ti(i3,4,5)有三个不同的根，故yh(x)有9个零点综上可知，当|c|2时，函数yh(x)有5个零点；当|c|2时，函数yh(x)有9个零点12解：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)1令g(x)x2ax1，其判别式a24当|a|2时，0，f(x)0故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根都小于0在(0，)上，f(x)0故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根为x1，x2当0xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0故f(x)分别在(0，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减(2)由(1)知，a2因为f(x1)f(x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)，所以k1a又由(1)知，x1x21，于是k2a若存在a，使得k2a，则1即ln x1ln x2x1x2亦即x22ln x20(x21)(*)再由(1)知，函数h(t)t2ln t在(0，)上单调递增，而x21，所以x22ln x212ln 10这与(*)式矛盾故不存在a，使得k2a
