1、第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布授课提示：对应学生用书第347页A组基础保分练1设随机变量B(2，p)，B(4，p)，若P(1)，则P(2)的值为()A.BC.D解析：随机变量B(2，p)，B(4，p)，又P(1)1P(0)1(1p)2，解得p，B，则P(2)1P(0)P(1)14C3.答案：B2箱中有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的六个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率是()A.B C.D解析：获奖的概率P，记获奖的人数为，则B，所以4人中恰好有3人获奖的概率为C3.答案：B3设事件A在每次试验
2、中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A.B C.D解析：设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数XB(3，p)，则有1(1p)3，得p，则事件A恰好发生一次的概率为C2.答案：C4(2021长沙模拟)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A0.75B0.6 C0.52D0.48解析：设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)0.6，P(A)0.8，则
3、这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)0.75.答案：A5(2021厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A.B C.D解析：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为PC2.答案：A6(多选题)下列说法正确的是()A设随机变量XB，则P(X2)B已知随机变量XN(2，2)且P(X4)0.9，则P(0X2)0.4C小赵、小钱、小孙、小李到四个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“4个人去的景点互不相同”，事件B“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)DE(2X3)2
4、E(X)3；D(2X3)2D(X)3解析：设随机变量XB，则P(X2)C22，故A正确；XN(2，2)，正态曲线的对称轴是直线x2.P(X4)0.9，P(X4)P(X0)0.1，P(0X2)0.50.10.4，故B正确；事件A“4个人去的景点互不相同”，事件B“小赵独自去一个景点”，则P(AB)，P(B)，P(A|B)，故C正确；E(2X3)2E(X)3正确，D(2X3)2D(X)3错误，应该为D(2X3)22D(X)，故D不正确答案：ABC7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入甲袋或乙袋中已知小球每次遇到黑色
5、障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入甲袋中的概率为_解析：记“小球落入甲袋中”为事件A，“小球落入乙袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B.若小球落入乙袋中，则小球必须一直向左或一直向右落下，故P(B)33，从而P(A)1P(B)1.答案：8(2021哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列解析：记E甲组研发新产品成功，
6、F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220，因为P(X0)P()，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的分布列为X0100120220P9.(2021上饶模拟)随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车为了研究广大市民共享单车的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用
7、户进行调查，得到如下数据：每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合计1087111450每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户(1)求抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率；(2)为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望解析：在该市“骑行达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为，女“骑行达人”的概率为.(1)抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为P14
8、4.(2)记抽出的女“骑行达人”人数为Y，则X500Y.由题意，得YB，P(Yi)Ci4i(i0,1,2,3,4)Y的分布列为Y01234PX的分布列为X05001 0001 5002 000PE(Y)4，X的数学期望E(X)500E(Y)800.B组能力提升练1(多选题)(2021辽宁省实验中学期中)如图所示的电路中，表示保险匣的5只箱子分别为A，B，C，D，E，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是()AA，B两只箱子所在线路畅通的概率为BA，B，C三只箱子所在线路畅通的概率为CD，E两只箱子所在线路畅通的概率为D当开关合上时，整个电路畅通的概率为解析：由题意知，A，B
9、，C，D，E保险匣被切断的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(E)，所以A，B两只箱子所在线路畅通的概率为，故A错误；D，E两只箱子并联后所在线路畅通的概率为11，故C错误；A，B，C三只箱子混联后所在线路畅通的概率为11，故B正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，故D正确答案：BD2(2021包头调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是()A.BC.D解析：三人中恰有两人合格的概率P.答案：C3投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有
10、一件发生的概率是()A.B C.D解析：用间接法考虑，事件A、B一个都不发生概率为P()P()P().则所求概率P1P().答案：C4(多选题)(2021山东临沂期末)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，则下列判断正确的是()A游客至多游览一个景点的概率是BP(X2)CP(X4)DE(X)解析：记该游客游览i个景点为事件Ai，i0,1，则P(A0)，P(A1)332，所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)P(A1)，故A正确随机变量X的可能取值为0,1
11、,2,3,4，P(X0)P(A0)，P(X1)P(A1)，P(X2)C2C2，故B正确P(X3)C2C3，P(X4)3，故C错误E(X)01234，故D正确答案：ABD5(2021珠海模拟)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体
12、在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)0.15，P(AB)0.05，所以P(B|A).答案：6(2021西安模拟)9粒种子分别种在3个坑内，每个坑种3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种假设每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，则的数学期望为_解析：每个坑需要补种的概率是相等的，都是3，所以此为3次独立重复试验模型，每次试验发生的概率都是，所以需要补种的坑的个数的数学期望为3，补种费用的数学期望为10.答案：7在某娱乐节目的一期比赛中，有6位歌手(
13、1号至6号)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体须彼此独立地在投票器上选出3位候选人其中媒体甲是1号歌手的歌迷，必选1号，另在2号至6号歌手中随机选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，必不选2号，在其他5位歌手中随机选出3名；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号歌手中随机选出3名(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望解析：设A表示事件“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件“媒体丙选中3号歌手”，则(1)P(A)，P(B)，P(A)P(A)P().(2
14、)P(C)，X可能的取值为0,1,2,3，P(X0)P()，P(X1)P(A)P(B)P(C)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC).P(X3)P(ABC).X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123.C组创新应用练(2021南昌模拟)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000小时经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图所示的频率分布直方图某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年新店面需安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装已知A型和B型节能灯每
15、只的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时假定该店面正常营业一年的照明时间为3 600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换(用频率估计概率)(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内恰好更换了2只灯的概率；(2)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由解析：(1)由频率分布直方图可知B型节能灯使用寿命超过3 600小时的频率为0.001 02000.2，用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3 600小时的概率为.所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为，所以一年内5只恰好更换了2只灯的概率为C23.(2)共需要安装5只同型号的节能灯，若选择A型节能灯，一年共需花费51203 6005200.75103870(元)若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布B，故一年需更换灯的只数的期望为54(只)，故一年共需花费(54)253 6005550.75103967.5(元)因为967.5870，所以该商家应选择A型节能灯
