1、第3节 机械能守恒定律知识点一 重力势能、弹性势能1重力势能(1)重力做功的特点重力做功与无关，只与始末位置的有关重力做功不引起物体的变化(2)重力势能概念：物体由于而具有的能表达式：Ep标矢性：重力势能是，正、负表示比 0 值大、比 0 值小系统性：重力势能是这一系统所共有的路径高度差机械能被举高mgh标量物体和地球相对性：Epmgh 中的 h 是的高度(3)重力做功与重力势能变化的关系 定 性 关 系：重 力 对 物 体 做 正 功，重 力 势 能就；重力对物体做负功，重力势能就定量关系：重力对物体做的功物体重力势能增量的负值，即 WG Ep(Ep2Ep1)Ep1Ep2.重力势能的变化量是
2、绝对的，与零势能面的选择无关相对于零势能面减少增加等于2弹性势能(1)概念：物体由于发生而具有的能(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量，劲度系数，弹簧的弹性势能越大(3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W.弹性形变越大越大Ep知识点二 机械能守恒定律1机械能和统称为机械能，即 EEkEp，其中势能包括和2机械能守恒定律(1)内容：在只有做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能势能动能重力势能弹性势能重力(或弹簧弹力)保持不变(2)表达式观点表达式 守恒观点E1E2，Ek1Ep1(要选零势能参考平面)转化观
3、点 Ek(不用选零势能参考平面)转移观点 EA(不用选零势能参考平面)Ek2Ep2EpEB考点一 机械能是否守恒的判断例 1 如图所示，一物体以初速度 v0 冲向光滑斜面 AB，并能沿斜面恰好上升到高度为 h 的 B 点，下列说法中正确的是()A若把斜面从 C 点锯断，由机械能守恒定律可知，物体冲出 C 点后仍能升高 hB若把斜面弯成圆弧形 AB，物体仍能沿 AB升高 hC无论是把斜面从 C 点锯断还是把斜面弯成圆弧形，物体都不能升高 h，因为机械能不守恒D无论是把斜面从 C 点锯断还是把斜面弯成圆弧形，物体都不能升高 h，但机械能守恒【解析】若把斜面从 C 点锯断，物体冲出 C 点后，物体将
4、做斜抛运动，物体到达最高点没有竖直速度还有水平速度，根据机械能守恒，物体无法将所有动能转化为重力势能，所以不可能到达 h 处，所以 A 项错误；若把斜面弯成圆弧形 AB，物体通过圆弧形时相当于轻绳模型，通过最高点时速度不可能减小为零，所以不可能沿 AB升高 h，所以 B 项错误；无论是把斜面从 C 点锯断还是把斜面弯成圆弧形，物体都不能升高 h，在上升的过程中，对物体而言只有重力对其做功，支持力始终与速度垂直不做功，仍然满足机械能守恒，所以 D 项正确；C 项错误【答案】D变式 1 如图所示，A、B、C、D 四图中的小球以及小球所在的斜面完全相同，现从同一高度 h 处由静止释放小球，小球下落同
5、样的高度，便进入不同的轨道：除去底部一小段圆孤，A 图中的轨道是一段斜面，且高于 h；B 图中的轨道与 A 图中轨道比较只是短了一些，斜面高度低于h；C 图中的轨道是一个内径大于小球直径的管，其上部为直管，下部为圆弧形，底端与斜面衔接，管的高度高于h；D 图中的轨道是半个圆轨道，其直径等于 h.如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入轨道后能运动到 h 高度的图是()【解析】A 选项中小球到达最高点的速度可以为零，根据机械能守恒定律得，mgh0mgh0.则 hh，A 正确小球离开轨道后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，运动到最高点时在水平方向上有速度，即在最高点的速度不为零，根据机械
6、能守恒定律得，mgh0mgh12mv2，则 hh，B 错误小球离开轨道做竖直上抛运动，运动到最高点速度为零，根据机械能守恒定律得，mgh0mgh0，则 hh，C 正确小球在内轨道运动，通过最高点有最小速度，故在最高点的速度不为零，根据机械能守恒定律得，mgh0mgh12mv2，则 hh，D 错误【答案】AC考点二 机械能守恒定律的应用例 2(2015 福建)如图，质量为 M 的小车静止在光滑水平面上，小车 AB 段是半径为 R 的四分之一圆弧光滑轨道，BC 段是长为 L 的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 B 点一质量为 m 的滑块在小车上从 A 点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为 g.滑块运动
7、过程中，小车的最大速度大小 vm；滑块从 B 到 C 运动过程中，小车的位移大小 s.(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力(2)若不固定小车，滑块仍从 A 点由静止下滑，然后滑入 BC 轨道，最后从 C 点滑出小车已知滑块质量 mM2，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的 2 倍，滑块与轨道 BC 间的动摩擦因数为，求：滑块运动过程中，小车的最大速度大小 vm；滑块从 B 到 C 运动过程中，小车的位移大小 s.【审题指导】关键词语 获取信息 隐含条件 突破口 AB 段是半径为 R 的四分之一圆弧光滑轨道 无摩擦力 只有重力做功，机械能守恒 由机械能守恒，列方程解
8、得 B 点速度 BC 段是长为 L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于 B 点 B 点速度水平 滑块在 B 点对小车压力最大 由牛顿第二定律求最大压力 mM2，v 滑2v车，求小车的最大速度 应以滑块和小车为一个系统进行研究 滑块达到 B 点时小车速度最大 对系统用动能定理或由系统机械能守恒 求小车的位移 应以小车为研究对象 小车向左做匀减速运动 先对系统用功能原理求出 vC，再对小车用动能定理或运动学公式，牛顿第二定律，求小车的位移【解析】(1)滑块滑到 B 点时对小车压力最大，从 A到 B 机械能守恒mgR12mv2B滑块在 B 点处，由牛顿第二定律得Nmgmv2BR解得 N3mg由牛顿第三定律
9、得 N3mg(2)滑块下滑到达 B 点时，小车速度最大由机械能守恒得mgR12Mv2m12m(2vm)2解得 vmgR3 设滑块运动到 C 点时，小车速度大小为 vC，由功能关系得mgRmgL12Mv2C12m(2vC)2设滑块从 B 到 C 过程中，小车运动加速度大小为 a，由牛顿第二定律得mgMa由运动学规律得v2Cv2m2as解得 s13L【小结】1.用机械能守恒定律解题的基本思路 2机械能守恒定律的应用往往与曲线运动综合起来，其联系点主要在初末状态的速度与圆周运动的动力学问题有关、与平抛运动的初速度有关变式 2 质量为 m 的小球，从离地面 h 高处以初速度v0 竖直上抛，小球上升到离
10、抛出点的最大高度为 H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则()A小球在抛出点的机械能是 0B小球落回抛出点时的机械能是mgHC小球落到地面时的动能是12mv20mghD小球落到地面时的重力势能是mgh【解析】小球运动中只有重力做功，机械能守恒，若选取最高点为零势能面，势能、动能都为零，机械能为零，A 正确，B 错误；落地时势能为mg(hH)，D 错误；根据机械能守恒定律有：12mv20mgHEkmg(hH)，整理得到落地时的动能为12mv20mghEk，C正确【答案】AC例 3 如图所示，一半径为 R 的光滑半圆柱水平悬空放置，C 为圆柱最高点，两小球 P、Q 用一轻质细线悬挂在半圆柱上
11、，水平挡板 AB 及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板 AB 与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为 mPm，mQ4m，水平挡板到水平面 EF 的距离为 h2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球 P到达最高点 C 时剪断细线，小球 Q 与水平面 EF 碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为 g，不计空气阻力，取 3.求(1)小球 P 到达最高点 C 时的速度 vC；(2)小球 P 落到挡板 AB 上时的速率 v1；(3)小球 Q 反弹后能上升的最大高度 hmax.【审题指导】关键词语隐含条件光滑半圆柱P 在圆柱面上运动时不受摩擦不计空气阻力P 沿柱面上滑、Q
12、下降过程中，系统机械能守恒P、Q 用细线悬挂P 运动到 C 点时，P、Q 速率均为 vCP 到达最高点 C 时剪断细线P 做平抛、Q 做竖直下抛运动小球 Q 与水平面 EF 碰撞后等速反向弹回Q 与 EF 碰后做竖直上抛运动【解析】(1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面，则在小球 P 到达最高点 C 的过程中，系统满足机械能守恒，有mQg142RmPgR12(mPmQ)v2C0，解得 vC 2gR.(2)因 vC gR，所以剪断细线后小球 P 做平抛运动，由机械能守恒定律知 mPgR12mPv2C12mPv21，解得 v12 gR.(3)剪断细线后，小球 Q 做竖直下抛运动，反弹
13、后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有mQg142R12mQv2CmQg(hhmax)，解得 hmax32R.【小结】本题中剪断细线前，细线对两小球均做功，两小球的机械能均不守恒，但取两小球和细线为系统，则只有重力做功，满足机械能守恒剪断细线后两小球的机械能均守恒，因此运用机械能守恒定律解题时，一定要注意研究对象的选择 变式 3 如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为 30，质量分别为 M、m 的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板开始时用手按住物体 M，此时 M 距离挡板的距离为 s，滑轮两边的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态已知 M2m，空气
14、阻力不计松开手后，关于二者的运动下列说法中正确的是()AM 和 m 组成的系统机械能守恒B当 M 的速度最大时，m 与地面间的作用力为零C若 M 恰好能到达挡板处，则此时 m 的速度为零D若 M 恰好能到达挡板处，则此过程中重力对 M 做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体 m 的机械能增加量之和【解析】M 在运动过程中，M、m 与弹簧组成的系统机械能守恒，A 错误；当 M 速度最大时，弹簧的弹力等于 mg，此时 m 对地面的压力恰好为零，B 正确；然后 M 做减速运动，当 M 恰好到达档板时，也就是速度刚好减小到了零，此时 m 受到的弹簧的弹力大于重力，还在加速上升，C 错误；根据系统机械能守
15、恒的关系，M 减小的机械能等于 m 增加的机械能与弹簧增加弹性势能之和，而 M 恰好到达板时，动能恰好为零，因此减小的机械能等于减小的重力势能，即等于重力对M 做的功，D 正确【答案】BD一、选择题：1、2 题为单选，3 题为多选1下列关于机械能是否守恒的叙述中正确的是()A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做匀变速运动的物体机械能一定不守恒C.外力对物体做功为零时，物体的机械能一定守恒D系统内只有重力和弹簧弹力做功时，系统的机械能一定守恒D【解析】在竖直面做匀速直线运动的物体机械能不守恒，故 A、C 错误；自由落体运动、平抛运动都只有重力做功，它们的机械能守恒，故 B 错误；根据机械能
16、守恒定律的条件可知，系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒，故 D 正确2如图，一小球自 A 点由静止自由下落到 B 点时与弹簧接触到 C 点时弹簧被压缩到最短若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由 ABC 的运动过程中()A小球总机械能守恒B小球的重力势能随时间均匀减少C小球在 B 点时动能最大D到 C 点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量D【解析】小球下落过程中，小球的动能、重力势能以及弹簧的弹性势能之和守恒，选项A 错误；小球向下做变速运动，重力势能 mgh的变化随时间不是均匀减小，选项 B 错误；当小球重力等于弹力时小球速度最大，动能最大，这个位置在 BC 间某一点，
17、选项 C 错误；由能量关系可知，到 C 点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，选项 D 正确 3固定的光滑斜面倾角为 37，AB 两个物体通过轻细线连接跨过定滑轮，如图所示，开始时让物块A 静止在斜面底端，B 离地面高为 h，连接 A 物块的细线与斜面平行，A 物块的质量为 m，B 物块的质量为 M.不计滑轮质量及细线与滑轮间的摩擦，释放 A物块后，A 在 B 物块的带动下沿斜面上滑，B 物块与地面碰撞后不反弹，则()BDAA 物块的最大速度为2（Mm）gh（mM）BA 物块的最大速度为2（5M3m）gh5（mM）CA 物块沿斜面上升的最大位移为2（4Mm）3（mM）hDA 物块沿
18、斜面上升的最大位移为8Mh3（Mm）【解析】物块 B 落地前瞬间 A 物块的速度最大，以 A、B 物块和细线组成的系统为研究对象，由机械能守恒定律得：Mghmghsin 37(mM)v2m2，解得 vm2（5M3m）gh5（mM）；B 物块落地后，A 物块沿斜面继续减速上滑，以 A 为研究对象，由机械能守恒定律得：mg(xh)sin 37mv2m2，解得：x8Mh3（Mm），故 BD 选项正确二、计算题4如图所示，质量分别为 M 和 m(Mm)的小物体用轻绳连接；跨放在半径为 R 的光滑半圆柱体和光滑定滑轮 B 上，m 位于半圆柱体底端 C 点，半圆柱体顶端 A 点与滑轮 B 的连线水平整个系
19、统从静止开始运动设 m 能到达圆柱体的顶端，求：(1)m 到达圆柱体的顶端 A 点时，m 和 M 的速度；(2)m 到达 A 点时，对圆柱体的压力大小【解析】(1)Mg12RmgR12(Mm)v2vMgR2mgRMm(2)mgFNmv2R根据牛顿第三定律得，m 对圆柱体的压力大小为FNFNmgMmg2m2gMm一、选择题：17 题为单选，811 题为多选1质量为 m 的小球从高 H 处由静止开始自由下落，以地面作为零势能面当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为()A2mg gHBmg gHC.12mg gHD.13mg gHB【解析】在小球的动能和重力势能相等时，设此时的高度为 h，物
20、体的速度为 v，则根据机械能守恒可得，mgHmgh12mv2，由于 mgh12mv2，所以 mgH212mv2，所以此时的速度的大小为 v gH，此时重力的瞬时功率为 PFvmgvmg gH，所以 B 正确故选 B.2取水平地面为重力势能零点一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为()A.6B.4C.3D.512B【解析】设物体水平抛出的初速度为 v0，抛出时的高度为 h，则12mv20mgh，则v0 2gh物体落地的竖直速度 vy 2gh，则落地时速度方向与水平方向的夹角 tan vyv0 2gh2gh，则 4，选项 B
21、 正确3如图所示，在固定倾斜光滑杆上套有一个质量为m 的圆环，杆与水平方向的夹角 30，圆环与竖直放置的轻质弹簧上端相连，弹簧的另一端固定在地面上的 A点，弹簧处于原长 h.让圆环沿杆由静止滑下，滑到杆的底端时速度恰为零则在圆环下滑过程中()A圆环和地球组成的系统机械能守恒B当弹簧垂直于光滑杆时圆环的动能最大C弹簧的最大弹性势能为 mghD弹簧转过 60角时，圆环的动能为 mghC【解析】圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和弹簧的拉力做功；所以圆环、弹簧和地球组成的系统机械能守恒，由于弹簧的弹性势能发生变化，则圆环与地球组成的系统机械能不守恒，故 A 错误；当弹簧
22、垂直于光滑杆时，圆环的加速度为 gsin 30，方向沿杆向下，环的速度还要增大，动能要增大，B 错，弹簧转过 60时，正好恢复原长，弹性势能为 0，圆环减小的重力势能为12mgh，减少的重力势能全部转化为动能，所以此时圆环的动能为12mgh，故 B、D 错误；当弹簧有最大弹性势能时，重力势能全部转化为弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为mgh，故 C 正确4如图所示，一根轻质弹簧竖直固定于水平地面上，一质量为 m 的小球自弹簧的正上方离地面高度为H1 处自由落下，并压缩弹簧设速度达到最大时的位置离地面高度为 h1，最大速度为 v1；若小球从离地面高度为 H2(H2H1)处自由下落，速度达到最大时
23、离地面高度h2，最大速度为 v2，不计空气阻力，则()Av1v2，h1h2Bv1v2，h1h2Cv1v2，h1h2Dv1h2A【解析】小球的速度达到最大位置时，加速度等于零，即重力与弹簧弹力等大反向的位置，弹簧弹力大小等于重力大小，弹簧改变量相等，所以 h1h2，系统的机械能守恒，重力势能转化为弹性势能和小球的动能，第二次释放时，下落到同一高度重力势能减小量多，两次的弹性势能相等，第二次的动能大，v1v2，所以 A 项正确；B、C、D 项错误5(2014 上海)静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力不计空气阻力，在整个上升过程中，物体机械能随时间变化关系是()C【解析
24、】根据机械能守恒定律，系统内只有重力、弹力做功，系统机械能才能保持不变，那么除系统内重力、弹力外其他力做的功等于系统机械能的变化，本题目中其他力即竖直向上的恒力，所以恒力撤去前，EFs，物体受到自身重力和竖直向上的恒力作用，竖直向上为匀加速直线运动，即 s12at2，所以 E12Fat2，机械能的增加量与时间的平方成正比，选项 A、B 错撤去恒力后只有重力做功，机械能不变，选项 D 错，所以正确选项为 C.6如图所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)，a 站在滑轮正下方的地面上，b 从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员 b 摆至最低点时
25、，a 刚好对地面无压力，则演员 a 的质量与演员 b 的质量之比为()A11B21C31D41B【解析】b 摆动过程中满足机械能守恒有：mbgL(1cos60)12mbv20，在最低点有：Tbmbgmbv2L，可得 Tb2mbg.当 a 刚好对地面无压力时，有 Tamag，同一根绳 TaTb，所以 mamb21，故 A、C、D 错误，B 正确故选 B.7一小球在离地高 H 处从静止开始竖直下落，运动过程中受到的阻力大小与速率成正比，下列图象反映了小球的机械能 E 随下落高度 h 的变化规律(选地面为零势能参考平面)，其中可能正确的是()B【解析】机械能的减少量，Efhkvh，Ehkv，又 mg
26、kvma，v，a，当 vmgk 时，a0，落地时，v 不可能为 0，E 不可能为 0，故 A 错；图象的斜率的大小先增大后不变或在未达到最大速度时就已落地，则图象的斜率只增大，B 图属前一种情况，故C、D 都错，B 对，选 B.8物体以 150 J 的初动能从某斜面的底端沿斜面向上作匀减速运动，当它到达某点 P 时，其动能减少了 100 J 时，机械能减少了 30 J，物体继续上升到最高位置后又返回到原出发点，其动能不可能是()A15 J B45 JC60 JD90 JABD【解析】物体从斜面底端到 P 点与从 P 点到最高点，这两阶段的动能减少量和机械能损失量是成比例的，设物体从点 P 到最
27、高点过程中，损失的机械能为 E，则10030（150100）E，由此得 E15 J，所以物体从斜面底端到达最高位置一共损失机械能 45 J，那么它从最高位置回到出发点机械能也损失这么多，于是在全过程中损失的机械能 90 J，回到出发点时的动能为 60 J.9一质量为 m 的小球以初动能 Ek0 从地面竖直向上抛出，已知上升过程中受到阻力作用，图中两条图线分别表示小球在上升过程中动能、重力势能中的某一个与其上升高度之间的关系(以地面为零势能面，h0 表示上升的最大高度，图中坐标数据中的 k 值为常数且满足 0k1)，由图可知，下列结论正确的是()BCDA表示的是动能随上升高度变化的图象，表示的是
28、重力势能随上升高度变化的图象B上升过程中阻力大小恒定且 fkmgC上升高度 hk1k2h0 时，重力势能和动能相等D上升高度 hh02 时，动能与重力势能之差为k2mgh0【解析】h0 时，EkEk0，Ep0，故 A错由可得 mgh0 Ek0k1.0h0，由动能定理(mgf)h0Ek0，联立解之可得 fkmg，B 对由可得 Ep Ek0k1 hh0.由可得 EkEk0Ek0hh0，令 EpEk，可得 hk1k2h0，C 对；令 hh02，EkEpEk0k2（k1）k2mgh0，D 对，选 BCD.10“快乐向前冲”节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知
29、选手的质量为 m，选手抓住绳由静止开始摆，此时绳与竖直方向夹角为，绳的悬挂点 O 距平台的竖直高度为 H，绳长为 L，不考虑空气阻力和绳的质量，下列说法正确的是()BDA选手摆到最低点时处于失重状态B选手摆到最低点时所受绳子的拉力为(32cos )mgC选手摆到最低点时所受绳子的拉力大小大于选手对绳子的拉力大小D选手刚开始运动时加速度为 gsin【解析】失重时物体有向下的加速度，超重时物体有向上的加速度，选手摆到最低点时向心加速度竖直向上，因此处于超重状态，A 错误；摆动过程中机械能守恒，有：mgL(1cos)12mv2，在最低点，绳子拉力 T 满足：Tmgmv2L，联立解得：T(32cos)
30、mg，B 正确；绳子对选手的拉力和选手对绳子的拉力属于作用力和反作用力，因此二者大小相等，方向相反，C 错误；选手刚开始运动时，将重力沿绳和垂直于绳的方向进行正交分解，在沿绳方向的加速度为零，在沿垂直绳的方向的重力分力提供加速度，其大小为 amgsin mgsin，D 正确11如图所示轻质弹簧的一端与固定的竖直板 P 拴接，另一端与物体 A 相连，物体 A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体 B 相连开始时用手托住 B，让细线恰好伸直，然后由静止释放 B，直至 B 获得最大速度下列有关该过程的分析正确的是()ACAB 物体的动能增加量小于 B 物体重力势能的减少量BB
31、 物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量CB 物体的机械能一定减小D合力对 A 先做正功后做负功【解析】由于 A、B 和弹簧系统机械能守恒，所以B 物体重力势能的减少量等于 A、B 增加的动能以及弹性势能，故选项 A 正确；从开始到 B 的速度增加到最大时，细线的拉力对 B 一直做负功，B 的机械能一定减小，故选项 C 正确；整个系统机械能守恒，所以 B物体机械能减少量等于 A 物体与弹簧机械能的增加，故选项 B 错误；由于物块 A 的速度增加，即动能增加，则根据动能定理可以知道，合力对 A 做正功，故选项D 错误所以本题正确的选项为 A、C.二、计算题12如图所示，斜面的倾角 30，另
32、一边与地面垂直，高为 H，斜面顶点有一定滑轮，物块 A 和 B的质量分别为 m1 和 m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮，开始时两物体与地面的垂直距离均为H2，释放两物块后，A 沿斜面无摩擦地上滑，B 沿斜面的竖直边下落，且落地后不反弹若物块 A 恰好能达到斜面的顶点，试求 m1 和 m2 的比值(滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计)【解析】B 落地前瞬间，A、B 组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律m2gH2m1gH2sin 3012(m1m2)v2B 落地后，以 A 为研究对象，A 上升到最高点过程中，根据动能定理m1gH2H2sin 30 012m1v2联立两方程可以得出：m1
33、m212.13如图所示，质量均为 m 的木块 P 与小球 Q(可视为质点)通过一根细绳相连，细绳绕过两个轻质无摩擦的小定滑轮 C、D(可视为质点)，木块 P 的另一端被固定在地面上的轻质弹簧秤竖直向下拉住小球 Q 套在固定在水平地面上的半圆形光滑圆环上，圆环半径为 R.初始时小球 Q 位于圆环的最高点 B 点静止不动，其中 BCR，此时弹簧秤对木块的拉力为 F0，弹簧秤中弹簧的弹性势能在数值上等于 mgR(g 为重力加速度)现将小球 Q 从 B点移动到 A 点，其中 AC 垂直于 OA，此时弹簧秤对木块的拉力为 2F0，然后将小球 Q 从 A 点由静止释放，小球 Q将顺着光滑圆环从 A 向 B
34、 运动已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的二次方成正比求：(1)弹簧秤中弹簧的劲度系数 k；(2)小球从 A 点静止释放，运动到 B 点时的速度；(3)小球从 A 点静止释放，由 A 点运动到 B 点的过程中，绳子拉力对小球所做的功【解析】(1)设弹簧秤中弹簧的劲度系数为 k，小球Q 位于 B 点时，弹簧秤中弹簧被拉长 x1，小球 Q 位于 A点时，弹簧被拉长 x2，由胡克定律可得：F0kx12F0kx2由几何关系可得：x2x1ACBC(31)R由以上三式联立解得：k（31）F02R(2)设小球 Q 位于 A 点时，弹簧秤中弹簧的弹性势能为 Ep，小球 Q 位于 B 点时，弹簧的弹性势能为 Ep0
35、mgR，已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的二次方成正比，结合式可得：EpEp0 x22x21F22F214所以，Ep4Ep04mgR小球运动到 B 点时，由绳子的牵连关系可知，木块的速度 vP0.小球从 A 点运动到 B 点的过程中，木块、小球、弹簧秤组成的系统机械能守恒，即小球增加的动能和重力势能等于木块减少的重力势能与弹簧减少的弹性势能之和，由此可得：12mv2Bmg(3Rcos 30R)mg(3RR)(EpEp0)由 式 联 立 解 得：vB 2（31.5）gR 6.4gR(3)小球从 A 点运动到 B 点的过程中，只有绳子拉力和重力对小球做功，设绳子拉力对小球做的功为 WT，由动能定理得
36、：WTmg(3Rcos 30R)12mv2B由式联立解得：WT3.7mgR.14如图所示，在竖直平面的 xOy 坐标系内，一根长为 l 的不可伸长的细绳，一端固定在拉力传感器A 上，另一端系一质量为 m 的小球x 轴上的 P 点固定一个表面光滑的小钉，P 点与传感器 A 相距3l4.现拉小球使细绳绷直并处在水平位置，然后由静止释放小球，当细绳碰到钉子后，小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动已知重力加速度大小为 g，求：(1)若小球经过最低点时拉力传感器的示数为 7mg，求此时小球的速度大小；(2)传感器 A 与坐标原点 O 之间的距离；(3)若小球经过最低点时绳子恰好断开，请确定小球经过 y 轴的位置【解析】(1)小球在最低点由牛顿第二定律可得：FTmgmv2R由题意 Rl4，则解得：v3gl2(2)由机械能守恒定律可得：mg(hl4)12mv2解得传感器 A 与 O 点的距离为：hl2(3)x（3l4）2（l2）2 5l4由 xvt，y12gt2解得：y5l48 即小球经过 y 轴的位置坐标为(0，17l48)
