1、课时分层作业(十九)空间向量与垂直关系(建议用时：60分钟)基础达标练一、选择题1已知平面的法向量为a(1，2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k()A4 B4 C5 D5D，ab，ab282k0.k5.2已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2，4 D4，15B，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得3在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A. B.C. D.D由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形
2、的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C选项正确4已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DBAC，DCAB，ADBC，则点D的坐标为()A(1，1，1)B(1，1，1)或C.D(1，1，1)或D设D(x，y，z)，则(x，y1，z)，(x，y，z1)，(x1，y，z)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)又xz0，xy0，(x1)2y2z22，联立得xyz1或xyz，所以点D的坐标为(1，1，1)或.故选D.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与
3、A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面B建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则(1，0，1)，(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)，E，F，0，0，EFA1D，EFAC.二、填空题6已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量其中正确的是_(填序号)2(1)(1)2(4)(1)2240，则，则ABAP.4(1)2200，则，则APAD.又ABADA，AP平面ABCD，故是平面A
4、BCD的一个法向量7已知a(0，1，1)，b(1，1，0)，c(1，0，1)分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对0ab(0，1，1)(1，1，0)10，ac(0，1，1)(1，0，1)10，bc(1，1，0)(1，0，1)10，a，b，c中任意两个都不垂直，即，中任意两个都不垂直8已知空间三点A(1，1，1)，B(0，0，1)，C(1，2，3)，若直线AB上存在一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_设M(x，y，z)，(1，1，0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由题意，得，x，y，z1，点M的坐标为.三、解答题9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相
5、垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.证明以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0，0)，F(，1)，M.所以，(0 ，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1，1，)因为.所以n ，得n与共线所以AM平面BDF.10如图所示，ABC是一个正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD.求证：平面DEA平面ECA.证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA2，则CE2，BD1，C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1
6、)所以(，1，2)，(0，0，2)，(0，2，1)分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨取n1(1，0)，n2(，1，2)，因为n1n20，所以n1n2.所以平面DEA平面ECA.能力提升练1两平面，的法向量分别为(3，1，z)，v(2，y，1)，若，则yz的值是()A3B6C6D12B(3，1，z)，v(2，y，1)分别为，的法向量且，v，即v0，6yz0yz6.2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点
7、Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直D以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，(1，0，1)，(1，2，0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n(2，1，2)假设DQ平面A1BD
8、，且(1，2，0)(，2，0)，则，因为也是平面A1BD的法向量，所以n(2，1，2)与共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.3.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是_垂直以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，平面PBC的一个法向量n(0，1，1)，n，n，EF平面PBC.4设A是空间任意一点，n是空间任意一个非零向量，则适合条件n0的点M的轨迹是_过点A且与向量n垂直的平面n0，n或0，点M在
9、过点A且与向量n垂直的平面上5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由解因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.又因为BAD90，所以AB，AD，AP两两垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)(1)证明：(0，0，1)，(1，1，0)，(1，1，0)，可得0，0，所以APCD，ACCD.又因为APACA，所以CD平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E，则E，.设平面PCD的法向量是n(x，y，z)，则因为(1，1，0)，(0，2，1)，所以取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n(1，1，2)所以n(1，1，2)0，所以n.因为BE平面PCD，所以BE平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE平面PCD.
