1、第三节等比数列考纲传真1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式
2、：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)
3、数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2(2017广州综合测试(二)已知等比数列an的公比为，则的值是()A2BC.D2A2.3(2017东北三省四市一联)等比数列an中，an0，a1a26，a38，则a6()【导学号：57962249】A64B128C256D512A设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或(舍去)，所以a6a1q564，故选A.4(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.5(20
4、15全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126，解得n6.等比数列的基本运算(1)(2017陕西质检(二)已知等比数列an的前n项和为Sn.若S3a210a1，a59，则a1()A.BC.D(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_(1)C(2)2n1(1)设等比数列的公比为q，则由S3a210a1得a1a1q210a1，则q29，又因为a5a1q49，所以a1.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，Sn2n
5、1.规律方法1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用2在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算变式训练1(1)在等比数列an中，a37，前3项和S321，则公比q的值为()【导学号：57962250】A1BC1或D1或(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a60，则_.【导学号：57962251】(1)C(2)28(1)根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2
6、，a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由Sn，得S6，S3，所以28.等比数列的判定与证明(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求. 解(1)证明：由题意得a1S11a1，2分故1，a1，故a10.3分由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.5分由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.7分(2)由(1)得Sn1.9分由S5得1，即.10分解得1.12分规律方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)，则an是等比数列(2)
7、等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定变式训练2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2).3分bnan12an，bn2bn1(
8、n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列.6分(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列.9分(n1)，故an(3n1)2n2.12分等比数列的性质及应用(1)(2016安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列an中，若am1am12am(m2)，数列an的前n项积为Tn，若T2m1512，则m的值为() A4B5C6D7(2)(2016天津高考)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件(1)B(2)C(1)由等比数列的性质可知am
9、1am1a2am(m2)，所以am2，即数列an为常数列，an2，所以T2m122m151229，即2m19，所以m5，故选B.(2)若对任意的正整数n，a2n1a2n0，则a1a20，所以a20，所以q0.若q0，可取q1，a11，则a1a2110，不满足对任意的正整数n，a2n1a2n0.所以“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的必要而不充分条件故选C.规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公
10、式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口变式训练3(1)(2017合肥三次质检)在正项等比数列an中，a1 008a1 009，则lg a1lg a2lg a2 016()【导学号：57962252】A2 015B2 016C2 015D2 016(2)(2017南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为()【导学号：57962253】A.BC1D2(1)D(2)D(1)lg a1lg a2lg a2 016lg a1a2a2 016lg(a1 008a1 009)1 008lg1 008lg1 0082 016，故选D.(2
11、)由题意得S49，所以.由a1a1qa1q2a1q3(aq3)2得aq3.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为2，故选D.思想与方法1方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解2函数的思想通项公式an a1qn1可化为anqn，因此an是关于n的函数，即an中的各项所表示的点(n，an)在曲线yqx上，是一群孤立的点3分类讨论思想当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点易错与防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽视q1这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列)
