1、课时分层作业(十九)导数在函数有关问题及实际生活中的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对B设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小2某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A32，16B30，15C40，20D36，18A要使材料最省
2、，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L2x(x0)，则L2.令L0，得x16或x16(舍去)此时长为32(米)，可使L最短3函数ycos xln(|x|1)(x2，2)的图象大致为()A由题意，函数f (x)cos xln(|x|1)(x2，2)，满足f (x)cos(x)ln(|x|1)cos xln(|x|1)f (x)，所以函数f (x)为偶函数，图象关于y轴对称，且f (0)cos 0ln(|0|1)1，f ()cos ln(|1)(0，1)，排除C、D，又由当x(0，2时，f (x)cos xln(x1)，则f (x)sin x，则f sin 0，f
3、()sin 0，即f f ()0，所以函数在之间有一个极小值点，故选A.4已知函数f (x)(x2a)ex有最小值，则函数g(x)x22xa的零点个数为()A0B1C2D取决于a的值Cf (x)2xex(x2a)exex(x22xa)exg(x)因为函数f (x)有最小值，且由题意得最小值即其极小值，所以f (x)0有解当有一解x0时，在x0两侧f (x)0都成立，此时f (x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f (x)0有两解，即x22xa0有两解，故g(x)有两个零点5某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x
4、的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100B150C200D300D由题意，得总成本函数为C(x)20 000100x，总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大二、填空题6已知函数f (x)x49x5，则f (x)的图象在(1，3)内与x轴的交点的个数为_1f (x)4x39，当x(1，3)时，f (x)0，所以f (x)在(1，3)上单调递增，因为f (1)30，f (0)50，所以f (x)的图象在(1，3)内与x轴只有一个交点7用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一
5、边长0.5 m，那么高为_时容器的容积最大12 m设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x0.5)m，高为14.84x4(x0.5)(3.22x)m.由3.22x0及x0，得0x1.6.设容器容积为y，则有yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)，y6x24.4x1.6.由y0及0x1.6，解得x1.在定义域(0，1.6)内，只有x1使y0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)因此当x1时，y取最大值，且ymax22.21.61.8(m3)，这时高为1.2 m8若x3ax210有一个实数根，则实数a的取值范围为_(，)令f
6、(x)x3ax21，则f (x)x2ax.由f (x)0有一个实数根，得0(是方程f (x)0的根的判别式)或f (x1)f (x2)0(x1，x2是f (x)的极值点)由0，得a0；令f (x)0，得x10，x2a，则f (x1)f (x2)a3a310，即a31，所以a.综上，实数a的取值范围是(，)三、解答题9一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？解设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知pkv3，因为v10，p6，所以k0.00
7、6.于是有p0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v396)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.当v20时，q0；当v20时，q0，所以当v20时，q取得最小值即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少10用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.5
8、3x)m.故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m3.从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)或x1，因此x1.当0x1时，V(x)0；当1x时，V(x)0，故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值从而最大体积VV(1)9126133(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.11(多选题)设x3axb0(a，bR)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是()Aa3，b2Ba3，b3Ca3，b2Da1，b2BCD记f (x)x
9、3axb，a3，b2时，f (x)x33x2(x1)2(x2)0，x1或x2，不满足题意；a3，b3时，f (x)x33x3，f (x)3x233(x1)(x1)，f (x)在(，1)和(1，)是递增，在(1，1)上递减，而f (x)极大值f (1)10，f (x)只有一个零点，即f (x)0只有一个实根；同理a3，b2时，f (x)在(，1)和(1，)是递增，在(1，1)上递减，而f (x)极小值f (1)b20，f (x)只有一个零点，即f (x)0只有一个实根；a1，b2时，f (x)x3x2(x1)(x2x2)0，只有一个实根1，故选BCD.12已知函数f (x)ax33x21，若f
10、(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)B由a0，f (x)3ax26x0，得x0或x.若a0，则f (x)在(，0)上是增函数，在上是减函数，在上是增函数又因为f (0)10，所以f (x)在(，0)上存在一个零点，与已知矛盾，a0舍去；若a0，则f (x)在上是减函数，在上是增函数，在(0，)上是减函数又因为f (0)10，所以f (x)在(0，)存在一个零点x0，且x00.f (x)存在唯一的零点x0，只需f 10，即a2或a2.又a0，所以a2，所以a的取值范围是(，2)故选B.13海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比
11、，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_20 n mile/h由题意设燃料费y1与航速v间满足y1av3(0v30)，又25a103，a.设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h，总费用为y元，则yav340020v2.由y40v0，得v2030.当0v20时，y0；当20v0，当v20时，y最小14(一题两空)某批发商以每吨20元购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销售N(单位：吨)与
12、零售价M(单位：元)有如下关系：N8 300170MM2，则该批材料零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元3023 000设该商品的利润为y元，由题意知，yN(M20)M3150M211 700M166 000，则y3M2300M11 700，令y0得M30或M130(舍去)，当M(0，30)时，y0，当M(30，)时，y0，因此当M30时，y有最大值，ymax23 000.15已知函数f (x)(x1)ln xx1.证明：(1)f (x)存在唯一的极值点；(2)f (x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数解(1)由题意知f (x)的定义域为(0，)f (x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)内单调递增，y在(0，)内单调递减，所以f (x)单调递增又f (1)10，f (2)ln 20，故存在唯一的x0(1，2)，使得f (x0)0.又当xx0时，f (x)x0时，f (x)0，f (x)单调递增，因此，f (x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f (x0)0，所以f (x)0在(x0，)内存在唯一实根x.由x01得1x0.又f ln 10，故是f (x)0在(0，x0)上的唯一实根综上，f (x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数
