1、2020-2021学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知i为虚数单位，若复数z，则|z|（）AB2CD2函数f（x）x34x+3在0，3上的最小值为（）ABC0D33已知各项均为正数的等比数列an中，a11，其前n项和为Sn，若2a3，a5，a4成等差数列，则S7S6（）A128B64C32D14若cos2，则tan（）ABCD5函数f（x）的定义域为R，它的导函数yf（x）的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（）A函数f（x）在（1，2）上为减函数B函数f（x）在（3，5）上为增函数C函数f（x）在（1，3）上有极大值Dx3是函数f
2、（x）在区间1，5上的极小值点6已知随机变量X服从正态分布N（，2），若P（x2）+P（x6）1，则（）A1B1C2D27中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美有；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A120种B192种C240种D408种8英国著名物理学家牛顿用做切线的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列xn满足
3、xn+1xn，则称数列xn为牛顿数列，如果函数f（x）x2x2，数列xn为牛顿数列，设anln且a11，xn2，数列an的前n项和为Sn，则S2021（）A220212B220211C（）2021D（）20212二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2012年作为第1年）的函数运用excel软件，分别选择回归直线和三
4、次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（）A销售额y与年份序号x呈正相关关系B三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和C三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为1698.719亿元10已知i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A若复数z的共轭复数为，则z|z|2B若复数z1，z2满足z1，则z1z20C若复数z1z2z1z3，则z2z3D复数z满足|z2i|1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y2）2111已知（x2）10a0+a1（x1）+a2（x1）2+a10（x1）10，则下
5、列结论正确的有（）Aa01Ba4210C+1Da0+a2+a4+a6+a8+a1051212已知函数f（x）Acos（x+）+1（A0，|），若函数y|f（x）|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A函数f（x）的图象关于直线x对称B函数f（x）的图象关于点（，0）对称C函数f（x）在区间，0上的值域为2，3D将函数y2sinx+1的图象向右平移个单位长度可得到函数yf（x）的图象三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i1，2，8），其线性回归方程是x+，且x1+x2+x3+x82（y1+y2+y3+y8）6，则
6、14二项式（x）6的展开式中常数项为20，则含x2项的系数为 15已知随机变量X的分布列为P（Xn）（n1，2，3），其中a为常数，则实数a ，E（3X） 16已知函数f（x）2ax有两个极值点，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosCbcosA+acosB（1）求角C的大小；（2）若c，ABC的面积为，求ABC的周长18某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在（7，11的学生称为
7、运动达人分组区间（单位：小时）（1，3（3，5（5，7（7，9（9，11人数13475（1）从上述抽取的学生中任取2人，设X为运动达人的人数，求X的分布列；（2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设Y为运动达人的人数，求Y的分布列19已知函数f（x）aexx2+2x（1）若a1，求函数f（x）在x1处的切线方程；（2）已知g（x）x2+x+2，若f（x）g（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围20已知数列an满足：a12，点（n，an+an+1）在函数ykx+2的图象上，其中k为常数，且k0（1）若a1，a2，a4成等比数列，求k的值；（2）当k3时，求数列an的前n项和Sn21某校对学生
8、关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了50人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：成绩40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数510151055赞成人数4812521（1）根据以上统计数据完成下面的22列联表：能否有97.5%的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为80分分界点有关？成绩不低于80分的人数成绩低于80分的人数合计赞成不赞成合计（2）若对数学成绩平均分在70，80）和80，90）的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学
9、习的人数的分布列及数学期望附参考公式与数据：，na+b+c+dP（K2k0）0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.82822设函数f（x）x22alnx（a2）x，aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）c （cR）有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f（）0参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知i为虚数单位，若复数z，则|z|（）AB2CD解：z，|z|故选：D2函数f（x）x34x+3在0，3上的最小值为（）ABC0D3解：f（x）x2
10、4，由f（x）0，得x2或x2，由f（x）0，得2x2，又x0，3，所以f（x）在0，2上单调递减，在2，3上单调递增，所以f（x）minf（2）8+4故选：B3已知各项均为正数的等比数列an中，a11，其前n项和为Sn，若2a3，a5，a4成等差数列，则S7S6（）A128B64C32D1解：设an的公比为q2a3，a5，a4成等差数列，a52a3+a4即a1q42a1q2+a1q3，化简得q2q20，解得q2或q1由已知，q2，S7S6a7a1q62664故选：B4若cos2，则tan（）ABCD解：，又，sin2+cos21，故选：C5函数f（x）的定义域为R，它的导函数yf（x）的部分
11、图象如图所示，则下面结论正确的是（）A函数f（x）在（1，2）上为减函数B函数f（x）在（3，5）上为增函数C函数f（x）在（1，3）上有极大值Dx3是函数f（x）在区间1，5上的极小值点解：由yf（x）的图象可知，当1x2时，f（x）0，则f（x）单调递增，当2x4时，f（x）0，则f（x）单调递减，当4x5时，f（x）0，则f（x）单调递增，又f（2）f（4）0，所以当x2时，f（x）取得极大值故选：C6已知随机变量X服从正态分布N（，2），若P（x2）+P（x6）1，则（）A1B1C2D2解：随机变量X服从正态分布N（，2），P（x2）+P（x6）1，又P（x2）+P（x2）1，P（x6
12、）P（x2），2，故选：D7中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美有；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A120种B192种C240种D408种解：“数”和“乐”两门课程相邻的方法数：240，“射”排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻的方法数48，所以“射”不排在第一节，“数”和“乐”两门课程相邻的方法数为24048192，故选：B8英国著
13、名物理学家牛顿用做切线的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列xn满足xn+1xn，则称数列xn为牛顿数列，如果函数f（x）x2x2，数列xn为牛顿数列，设anln且a11，xn2，数列an的前n项和为Sn，则S2021（）A220212B220211C（）2021D（）20212解：由条件f（x）x2x2，有f（x）2x1，所以，所以，又a11，所以数列an为以1为首项，2为公比的等比数列，所以故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9某电子商务平台每年都
14、会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2012年作为第1年）的函数运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是（）A销售额y与年份序号x呈正相关关系B三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和C三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为1698.719亿元解：由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故选项A正确；由散点图以及直线
15、回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，故选项B错误；因为0.9990.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y0.168x3+28.141x229.027x+6.889，则当x10时，y2698.719亿元，故选项D错误故选：AC10已知i为虚数单位，则下列命题正确的是（）A若复数z的共轭复数为，则z|z|2B若复数z1，z2满足z1，则z1z20C若复数z1z2z1z3，则z2z3D复数z满足|z2i|1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y2）21解：设复数za+bi
16、，则，故A选项正确，复数z1，z2满足z1，z1、z2 的实部相同，虚部互为相反数，设z1a+bi，z2abi，故B选项正确，当z10 时，复数z1z2z1z3，但z2不一定相等z3，故C选项错误，z在复平面内对应的点为（x，y），则|z2i|x+（y2）i|1，即，x2+（y2）21，故D选项正确故选：ABD11已知（x2）10a0+a1（x1）+a2（x1）2+a10（x1）10，则下列结论正确的有（）Aa01Ba4210C+1Da0+a2+a4+a6+a8+a10512解：（x2）101+（x1）10a0+a1（x1）+a2（x1）2+a10（x1）10，令x1，可得a01，故A正确；a
17、4（1）6210，故B错误；在所给的等式中，令x，可得1+，+1，故C错误；令x2，可得1+a1+a2+a3+a100，再令x0，可得1a1+a2a3a4+a10210，两式相加除以2，可得a0+a2+a4+a6+a8+a10512，故D正确，故选：AD12已知函数f（x）Acos（x+）+1（A0，|），若函数y|f（x）|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A函数f（x）的图象关于直线x对称B函数f（x）的图象关于点（，0）对称C函数f（x）在区间，0上的值域为2，3D将函数y2sinx+1的图象向右平移个单位长度可得到函数yf（x）的图象解：函数y|f（x）|的部分图象可知A2，当
18、x0时，函数值y2，即2cos+12，|），那么函数f（x）2cos（x+）+1对于A：令x+k，kZ，可得x，当k1时，可得函数f（x）的图象关于直线x对称，所以A正确；对于B：当x时，可得y1，即图象关于点（，1）对称，所以B错误；对于C：x，0上，则x+，那么2cos（x+）1，2，可得值域为2，3；所以C正确；对于D：函数y2sinx+1的图象向右平移个单位长度，即y2sin（x）+12sin（x）+12cos（）+1，得不到f（x），所以D错误；故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i1，2，8），其
19、线性回归方程是x+，且x1+x2+x3+x82（y1+y2+y3+y8）6，则解：因为x1+x2+x3+x82（y1+y2+y3+y8）6，所以，故样本中心为，又线性回归方程是x+，所以，解得故答案为：14二项式（x）6的展开式中常数项为20，则含x2项的系数为 15解：二项式（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1（a）rx62r，令62r0，求得r3，可得展开式中常数项为 （a）320，a1则令62r2，求得r2，可得含x2项的系数为（1）215，故答案为：1515已知随机变量X的分布列为P（Xn）（n1，2，3），其中a为常数，则实数a，E（3X）解：P（Xn），（n1，2，3），其中a为
20、常数，P（X1）+P（X2）+P（X3）+1，a，P（X1），P（X2），P（X3），E（3X）3E（X）3（1+2+3）故答案为：，16已知函数f（x）2ax有两个极值点，则实数a的取值范围是 解：函数f（x）2ax，则，因为函数f（x）有两个极值点，则f（x）0有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根，令g（x），所以函数yg（x）与y2a的图象有两个不同的交点，因为，则当x1时，g（x）0，则g（x）单调递增，当x1时，g（x）0，则g（x）单调递减，所以当x1时，g（x）取得最大值g（1），作出函数g（x）的图象如图所示，由图象可知，解得，所以实数a的取值范围是故答案为：四、解答题：本
21、题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosCbcosA+acosB（1）求角C的大小；（2）若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：（1）因为2ccosCbcosA+acosB，所以2sinCcosCsinBcosA+sinAcosBsin（A+B）sinC，因为sinC0，所以cosC，因为C（0，），所以C（2）因为C，c，ABC的面积为absinCab，所以ab6，由余弦定理c2a2+b22abcosC，可得7a2+b2ab（a+b）23ab（a+b）218，解得a+b5，所以ABC的周长a+b+c5
22、+18某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在（7，11的学生称为运动达人分组区间（单位：小时）（1，3（3，5（5，7（7，9（9，11人数13475（1）从上述抽取的学生中任取2人，设X为运动达人的人数，求X的分布列；（2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设Y为运动达人的人数，求Y的分布列解：（1）X的可能取值为0，1，2，p（X0），p（X1），p（X2），X的分布列为：（2）由表中数据可得，抽到运动达人的频率为，将频率视为概率，则随机变YB（2，），p（Y0），p（Y1），p（Y2），Y的分布
23、列为：19已知函数f（x）aexx2+2x（1）若a1，求函数f（x）在x1处的切线方程；（2）已知g（x）x2+x+2，若f（x）g（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围解：（1）若a1时，f（x）exx2+2x，f（1）e+1，f（x）ex2x+2，由导数的几何意义可得k切f（1）e，所以f（x）在x1处的切线方程为yf（1）e（x1），即y（e+1）exe，所以切线方程为yex+1（2）不等式f（x）g（x）在R上恒成立，所以aexx2+2xx2+x+2，在R上恒成立，所以a，在R上恒成立，令g（x），g（x），所以在（，3）上，g（x）0，g（x）单调递减，在（3，+）上，g（x）0，
24、g（x）单调递增，所以g（x）ming（3），所以a，所以a的取值范围为（，20已知数列an满足：a12，点（n，an+an+1）在函数ykx+2的图象上，其中k为常数，且k0（1）若a1，a2，a4成等比数列，求k的值；（2）当k3时，求数列an的前n项和Sn解：（1）由an+an+1kn+2，可得a1+a2k+2，a2+a32k+2，a3+a43k+2，因为a12，所以a2k，a3k+2，a42k又a1，a2，a4成等比数列，所以a1a4，则k222k，又k0，故k4（2）当k3时，an+an+13n+2当n为偶数时，Sn（a1+a2）+（a3+a4）+（a5+a6）+（an1+an）5+
25、8+11+.+（3n1）当n为奇数时，Sna1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a6+a7）+（an1+an）2+8+11+.+（3n1）综上所述，Sn21某校对学生关于开展数学研究性学习的态度进行调查，随机抽调了50人，他们数学成绩的平均分（单位：分）的频数分布及对开展数学研究性学习赞成人数如表：成绩40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数510151055赞成人数4812521（1）根据以上统计数据完成下面的22列联表：能否有97.5%的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均分为80分分界点有关？成绩不低于80分的人数成绩低于80分的人
26、数合计赞成不赞成合计（2）若对数学成绩平均分在70，80）和80，90）的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，求在选中的4人中有人不赞成的条件下，赞成开展数学研究性学习的人数的分布列及数学期望附参考公式与数据：，na+b+c+dP（K2k0）0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828解：（1）根据统计数据填写22列联表，如下：成绩不低于80分的人数成绩低于80分的人数合计赞成32932不赞成71118合计104050由表中数据，计算K26.2725.024，所以有97.5%的把握认为学生关于开展数学研究性学习的态度与数学成绩平均
27、分为80分分界点有关；（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3；计算P（0），P（1），P（2），P（3），所以的分布列为：0123P数学期望为E（）0+1+2+322设函数f（x）x22alnx（a2）x，aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）c （cR）有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f（）0【解答】（1）解：f（x）x（a2）（x0）当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，函数f（x）的单调增区间为（0，+）；当a0时，由f（x）0，得xa；由f（x）0，得0xa所以函数f（x）的单调增区间为（ a，+），单调减区间为（0，a）（2）证明：
28、因为x1、x2是方程f（x）c的两个不等实根，由（1）知a0不妨设0x1x2，则2alnx1（a2）x1c，alnx2（a2）x2c两式相减得2alnx1（a2）x1+2alnx2+（a2）x20，即+2x12x2ax1+2alnx1ax22alnx2a（x1+2lnx1x22lnx2）所以a因为f（a）0，当x（0，a）时，f（x）0，当x（a，+）时，f（x）0，故要证f（）0，只需证a即可，即证明，即证明+2（x1+x2）（lnx1lnx2）+4x14x2，即证明ln设t（0t1）令g（t）lnt，则g（t）因为0t1，所以g（t）0，所以g（t）在（0，1）上是增函数所以g（t）g（1）0，所以f（）0成立
