1、精品题库试题 理数1. (2014大纲全国,7,5分)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1 1.C 1.y=xex-1+x(ex-1)=(1+x)ex-1,曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x=1=2.故选C.2. (2014江西,8,5分)若f(x)=x2+2()A.-1B.-C.D.1 2.B 2.令3. (2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sinx,g(x)=cosx;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2
2、.其中为区间上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3 3.C 3.由得f(x)g(x)=sinxcosx=sin x,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以为区间上的正交函数;由得f(x)g(x)=x2-1,f(x)g(x)dx=(x2-1)dx=-,所以不是区间上的正交函数;由得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以为区间上的正交函数.故选C.4. (2014湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x= 4.A 4.由f(x)dx=sin(x-)dx=-
3、cos(x-)=-cos+cos =0,得cos =sin ,从而有tan =,则=n+,nZ,从而有f(x)=sin=(-1)nsin,nZ.令x-=k+,kZ,得x=k+,kZ,即f(x)的图象的对称轴是x=k+,kZ,故选A.5. (2014陕西,3,5分)定积分(2x+ex)dx的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1 5.C 5.(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e1-1=e,故选C.6.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.4 6.D 6.由得x=0或x=2或x=-2(舍).S=(4x-x3)dx
4、=4.7.(2014课标全国卷,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3 7.D 7.y=a-,x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D.8. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，9) 的值是（ ）(A) (B) (C) (D) 8. C 8. 根据定积分的意义可得，定积分的值为圆在x轴上方的面积，故.9. (2014山西太原高三模拟考试（一），12) 已知方程在（0，+）上有两个不同的解a，b（ab），则下面结论正确的是( ) 9. C 9. 由题意可得上有两个不同的解a，b（ab），结合数形结合可得直线与曲线
5、相切于点，且，则根据导数的几何意义可得切线的斜率为，根据两点间的斜率公式可得，由此可得，即，两边同除可得sin2b=2bcos2b. 故选C.10. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 4) 曲线在处的切线方程为（ ）A B C D 10. A 10. 依题意，所以，所以所求的切线方程为，即.11. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 11) 在区间上随机取两个数, 则02的概率是（ ）A. B. C. D. 11.C 11.：如图，.12. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 9) 已知，为的导函数，则的图象是（ ） 12.A 12.为奇函数，排除B, D。又，所以排除C。选A1
6、3. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，12) 在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该曲线在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点. 则的范围是（ ）A B. C. D. 13. A 13. 设，因为，所以，所以曲线在点处的切线的方程为，即，令得，过点作的垂线，其方程为，令得，所以，因为或，所以或，所以的取值范围是.14.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，8）设，若，则( ) (A) -1 (B) 0 (C) l(D) 256 14. B 14. . 令展开式中的x=1得，；令展开式中的x=0得，所以0.15.（2014江西重点中学协作体高三第一次联
7、考数学（理）试题，6）若，则的解集为（ ） A B C D 15. A 15. 函数的定义域为. ，由且，解得.16.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，5）若，则=( )A. B. C. D. 16. C 16. .17.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，10），数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（ ）A 17. B 17. ，所以，所以可得，所以（当且仅当n=2时等号成立）.18.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，7）把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式（其中k为常数）确定，在该电场中
8、，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从处移动到处，与从处移动到处，电场力对它所做的功之比为（ ） A B C D 18. D 18. 从处移动到处电场力对它所做的功为；从处移动到处电场力对它所做的功为，其比值为3.19.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点F为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为( )(A) (B) (C) (D) 19. A 19. 抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双
9、曲线方程为.20. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），8) 若实数、满足. 则的最小值 为 ( ) A. B. C. D. 20. C 20. , 点在曲线的图像上，点在直线上，要使最小，当且仅当过曲线上的点的切线与直线平行，由得，由得，故当时，取得极小值，直线的斜率为3，解得或（由于，故舍去），设点到直线的距离为，则，故的最小值为.21. (2014重庆七校联盟, 10) 已知函数在R上满足，则曲在点 处切线的斜率是 （ ） A. B. C. D. 21. A 21. ，即，解方程程组得，斜率，选A.22. (2014重庆七校联盟, 8) （创新）若，则等于（） A. B. C. D
10、. 22. D 22. ，.23. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 7) 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（ ）A. 3 B. C. 3或 D. 3或 23. B 23.二项式的展开式的的第二项系数为，解得，.24. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 5) 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 24. B 24.设切点为，曲线的一条切线的斜率为，解得或（舍去），故所求切点的横坐标为2.25. (2014兰州高三第一次诊断考试, 9) 下列五个命题中正确命题的个数是( ) 对于命题，则，均有是直线与直线互相垂直的充
11、要条件 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5) ，则回归直线方程为1.23x0.08若实数，则满足的概率为 曲线与所围成图形的面积是A. 2B. 3C. 4D. 5 25. A 25. 对，因为命题，则，均有，故错误；对，由于直线与直线垂直的充要条件是或0，故错误；对，设线性回归方程为，由于样本点的坐标满足方程，则，解得，回归直线方程为，故正确；对，有几何概型知，所求概率为，故错误；对，曲线与所围成图形的面积是，正确.故正确的是 ，共2个.26. (2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为_. 26.5x+y-3=0 26.y=-5e-
12、5x,曲线在点(0,3)处的切线斜率k=y|x=0=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.27. (2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是_. 27.(-ln 2,2) 27.令f(x)=e-x,则f (x)=-e-x.令P(x0,y0),则f (x0)=-=-2,解得x0=-ln 2,所以y0=eln 2=2,所以点P的坐标为(-ln 2,2).28.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,
13、则a+b的值是_. 28.-3 28.y=ax2+,y=2ax-,由题意可得解得a+b=-3.29.(2014辽宁,14,5分)正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是_. 29. 29.由对称性可知S阴影=S正方形ABCD-4x2dx=22-4=,所以所求概率为=.30. (2014福州高中毕业班质量检测, 12) 如图所示, 在边长为1的正方形中任取一点, 则点恰好取自阴影部分的概率为 . 30. 30. 依题意，阴影部分面积，故所求的概率
14、为.31. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，13) 在的展开式中含常数项的系数是60，则的值为_. 31. 31. 常数项为，由得，所以.32. (2014广东广州高三调研测试，12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_. 32. 32. 由导数的几何意义，又因为，所以，故.33.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，11）计算：= 33. 33. =，而表示的是以原点为圆心，以2为半径且在x轴上方的半圆的面积，故其值为；，所以原式的值为.34.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题
15、, 15) 设，则二项式展开式中的常数项是_（用数字作答） 34. 1120 34. , 二项式展开式的通项为, 当r=4时, 得常数项为1120.35.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，14) 设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为 . 35. 35. ，令，所以直线为与的交点为和，直线与曲线围成图形的面积36.(2014湖北八市高三下学期3月联考，11) 己知，则（）6的展开式中的常数项为 . 36. 36. 因为，所以（）6的展开式中的常数项为37.(2014周宁、政和一中第四次联考，11) 已知，若，则的值等于 . 37. 3 37. ，解得或（舍去）.38.
16、 (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），14) 已知函数的对称中心为，记函数的导函数为的导函数为，则有. 若函数，则= . 38. 38. ，由得，故函数关于点对称. 即，.39. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），12) 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 . 39. 39. 联立方程组，求得交点的坐标为，因此所求的面积为.40. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 15) 曲线与直线所围成的封闭图形的面积是 . 40. 40. 由，可得交点的坐标为，可得交点的坐标为，所以曲线曲线与直线所围成的封闭图形的面积是.41. (2014天津七校高三联考, 13) 曲线处切线
17、与直线垂直，则_ 41. 1 41. ，当时，故曲线在点处的切线斜率为1，与它垂直的直线的斜率，.42. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 14) 如图所示，在第一象限由直线，和曲线所围图形的面积为 . 42. 42. 依题意，解方程组的交点的坐标为，解方程组的交点的坐标为，所求的面积43. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 11) 若，则的解集为 . 43. 43. ，令，解得，即的解集为.44.(2014广州高三调研测试, 12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 44. 44. ，又，即的取值范围是.45.(2014广州高
18、三调研测试, 11) 如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域在内随机取一点，则该点落在中的概率为 45. 45. 依题意，正方形的面积，阴影部分的面积，故所求的概率为.46. (2014湖北黄冈高三期末考试) 若，则、的大小关系为 . 46. 46. ，.47. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 若曲线在原点处的切线方程是，则实数 . 47. 2 47. ，又曲线在原点处的切线方程是，48. (2014大纲全国,22,12分)函数f(x)=ln(x+1)-(a1).()讨论f(x)的单调性;()设a1=1,an+1=ln(an+1),证明:an. 48.
19、查看解析 48.()f(x)的定义域为(-1,+),f (x)=.(2分)(i)当1a0, f(x)在(-1,a2-2a)上是增函数;若x(a2-2a,0),则f (x)0, f(x)在(0,+)上是增函数.(4分)(ii)当a=2时, f (x)0, f (x)=0成立当且仅当x=0, f(x)在(-1,+)上是增函数.(iii)当a2时,若x(-1,0),则f (x)0, f(x)在(-1,0)上是增函数;若x(0,a2-2a),则f (x)0, f(x)在(a2-2a,+)上是增函数.(6分)()由()知,当a=2时, f(x)在(-1,+)上是增函数.当x(0,+)时, f(x)f(0
20、)=0,即ln(x+1)(x0).又由()知,当a=3时, f(x)在 49.查看解析 49.()对f(x)求导得f (x)=2ae2x+2be-2x-c,由f (x)为偶函数,知f (-x)=f (x),即2(a-b)(e2x+e-2x)=0,因为e2x+e-2x0,所以a=b.又f (0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.()当c=3时, f(x)=e2x-e-2x-3x,那么f (x)=2e2x+2e-2x-32-3=10,故f(x)在R上为增函数.()由()知f (x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x2=4,当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c0
21、,此时f(x)无极值;当c=4时,对任意x0, f (x)=2e2x+2e-2x-40,此时f(x)无极值;当c4时,令e2x=t,注意到方程2t+-c=0有两根t1,2=0,即f (x)=0有两个根x1=ln t1,x2=ln t2.当x1xx2时, f (x)x2时, f (x)0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+).50. (2014福建,20,14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.()求a的值及函数f(x)的极值;()证明:当x0时,x2ex;()证明:对任意给
22、定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时,恒有x2cex. 50.查看解析 50.解法一:()由f(x)=ex-ax,得f (x)=ex-a.又f (0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f (x)=ex-2.令f (x)=0,得x=ln 2.当xln 2时, f (x)ln 2时, f (x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.()令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x.由()得g(x)=f(x)f(ln 2)0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=
23、10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时,x2cex.取x0=0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.若0c1,要使不等式x2kx2成立.而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h(x)=1-=,所以当x2时,h(x)0,h(x)在(2,+)内单调递增.取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知kln k,kln 2,5k0,所以h(x0)0.即存在x0=,当x(x0,+)时,恒有
24、x2cex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20时,exx2,所以ex=,当xx0时,ex=x2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.解法三:()同解法一.()同解法一.()首先证明当x(0,+)时,恒有x30时,x2ex,从而h(x)0,h(x)在(0,+)内单调递减,所以h(x)h(0)=-10,即x3x0时,有x2x3ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,+)时,恒有x20),设fn(x)为fn-1(x)的导数,nN*.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对任意的nN*,等式=都成立. 51.查看解
25、析 51.(1)由已知,得f1(x)=f 0(x)=-,于是f2(x)=f 1(x)=-=-+,所以f1=-, f2=-+.故2f1+f2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf 0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的nN*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.
26、(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),=cos=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的nN*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(nN*).所以=(nN*).52.(2014课表全国，21，12分)设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.()求a,b;()证明:f(x
27、)1. 52.查看解析 52.()函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=aexln x+ex-ex-1+ex-1.由题意可得f(1)=2, f (1)=e.故a=1,b=2.()由()知, f(x)=exln x+ex-1,从而f(x)1等价于xln xxe-x-.设函数g(x)=xln x,则g(x)=1+ln x.所以当x时,g(x)0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g=-.设函数h(x)=xe-x-,则h(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.53.（
28、2014重庆一中高三下学期第一次月考，17）设，其中，曲线在点处的切线与直线：平行。(1) 确定的值；(2) 求函数的单调区间。 53.查看解析 53. 解析 (1) 由题，故。因直线的斜率为，故，从而； (2) ，由得或，由得。故的单增区间为和，单减区间为。54. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，21) 已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数（1）若函数在处有极值，求的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围 54.查看解析 54.，由有，即切点坐标为，切线方程为，或整理得或4分，解得，6分（1），在处有极值，即，解得，8分（2）函数在
29、区间上为增函数，在区间上恒成立，又在区间上恒成立，即，在上恒成立，的取值范围是 14分55. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，20) 已知函数() 若在区间上为减函数，求的取值范围；() 讨论在内的极值点的个数。 55.查看解析 55.解：() (2分)在区间上为减函数O在区间上恒成立 (3分)是开口向上的抛物线 存在，使得在区间内有且只有一个极小值点 (8分) 当时，由() 可知在区间上为减函数在区间内没有极值点.综上可知，当时，在区间内的极值点个数为当时，在区间内的极值点个数为 (12分)56. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，21)
30、设函数（1）判断函数f(x) 在(0, +) 上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f(x) -1 0,h(x) 在（0，+）上是增函数， 3分又h(0) =0，h(x) 0, 则f(x) 0,f(x) 在(0, +) 上是单调增函数. 5分(2) f(x) -1=, 不等式f(x) -1 a可化为ex-(a+1) x-1 0,令G(x) = ex-(a+1) x-1, G(x) =ex-(a+1), 7分由G(x) =0得：x=ln(a+1),当0 x (ln(a+1) 时，G(x) ln(a+1) 时，G(x) 0,当x=ln(a+1) 时，G(x) min=a-(a+
31、1) ln(a+1), 9分即当x=ln(a+1) 时，G(x) min=a-(a+1) ln(a+1) 0. 11分故存在正数x=ln(a+1) ，使不等式F(x) -1 a成立 12分57. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，22) 设函数. （）求证：当时，恒成立；（）求证：；（）求证：. 57.查看解析 57.（），设，当时，即上单调递减又，上恒有，即恒成立 . （5分） （）令，则有，. （9分）（）上单调递增，（12分）又上单调递减， . （14分）58.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，21）已知函数（1）当时，证明对任意的；（2）求证：（3）若函数有且
32、只有一个零点，求实数的取值范围 58.查看解析 58.（2）根据（1）的结论，当时，即令，则有， 7分即 8分(本问也可用数学归纳法证明.)当时，设的两根分别为与，则，不妨设当及时，当时，所以函数在上递增，在上递减，而所以时，且因此函数在有一个零点，而在上无零点；此时函数只有一个零点；综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R14分59.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，21）已知定义在上的函数总有导函数, 定义.一是自然对数的底数.(1) 若, 且, 试分别判断函数和的单调性:(2) 若.当时, 求函数的最小值；设, 是否存在, 使得? 若存在, 请求出一组的值: 若不存在, 请
33、说明理由。 59.查看解析 59.60.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，22）已知函数 （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求的单调减区间； （）当时，设在区间上的最小值为，令， 求证： 60.查看解析 60. (1) 当时， 2分 曲线在点处的切线方程为： 即 3分61. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，17) 已知函数. （）若，求函数的单调区间和极值；（）设函数图象上任意一点的切线的斜率为，当的最小值为1时，求此时切线的方程. 61.查看解析 61.解：（I）的定义域为（）时，1分当时， 2分由得，由得，或，由得，3分的单调递增区间为，；单调递减区间为5分极大
34、值为；极小值为 7分（II）由题意知 9分 此时，即，切点为，11分 此时的切线方程为：. 13分62. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数（为常数），其图象是曲线. （）当时，求函数的单调减区间； （）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为. 问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 62.查看解析 62. 解析 （）当时， .令，解得，所以f(x) 的单调减区间为. （4分）（） ，由题意知消去，得有唯一解.令，则
35、，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，故实数的取值范围是. （10分）（）设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标. （12分）由题意知，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，.故时，存在常数，使；时，不存在常数，使. （16分）63. (2014重庆七校联盟, 19) （创新）已知函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴. （）求的值； （）求函数的极值. 63.查看解析 63. （） , ，即 . （5分） （）由（）知， ， ，令，有，由，则或；由，则或. （9分）所以，取得极大值，时，取得极小值 . （13分）64. (2014天津七校高三联考,
36、20) 已知函数在点处的切线方程为 () 求函数的解析式； () 若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值； （）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围 64.查看解析 64. 解析 () 根据题意，得即解得，所以（4分） () 令，即得12 + + 增极大值减极小值增2因为，所以当时， （ 6分）则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为4 （）因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线的斜率为 （9分）则=，即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令，则或02+ +增极大值减极小值增则 ，即，解得 （13分）65.
37、 (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，21) 已知函数，. （）若，求曲线在出的切线方程； （）若对任意的都有恒成立，求的最小值； （）设，若，为曲线上的两个不同点满足，且，使得曲线在处的切线与直线平行，求证. 65.查看解析 65. 解析 （），. （4分） （）由恒成立等价于恒成立，令，若，则恒成立. 函数在上是增函数，恒成立，又，符合条件.若，由可得，解得或（舍去），当时，；当时，这与恒成立矛盾.综上所述，的最小值为1. （9分） （），又，由，易知其定义域内为单调减函数，欲证，即证明，即证明，变形可得，令，则等价于，构造函数，则，令，当时，在上为单调增函数，在上恒成立，成立，.
38、（14分）66. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 21) 已知函数，其中. （）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值（其中为自然对的底数）. 66.查看解析 66. (）（），令，则，又的定义域是，函数的单调递增区间为（0，2），递减区间为（，0）和（2，）（4分）（）设切点为则 解得 ，（7分）（） ， ，令，则，当时，在单调增加 （9分）当时，在单调减少，在单调增加； 若时，； 若时，； （11分）当时，在上单调递减，；综上所述，时，；时，. (14分)67. (2014广州高三调研测试, 20) 设函数，. （）若曲线与在它们的交点处
39、有相同的切线，求实数，的值；（）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；（）当，时，求函数在区间上的最小值. 67.查看解析 67. 解析（）因为，所以，.因为曲线与在它们的交点处有相同切线,所以, 且。即, 且,解得. （3分） （）当时，所以.令，解得.当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.故在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当 即解得.所以实数的取值范围是. （8分） （）当，时，.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，所以.当，即时，.当时，. （12分）当时，在区间上单调递增，
40、.综上可知，函数在区间上的最小值为 （14分）68.(2014兰州高三第一次诊断考试, 21) 已知函数，其中的函数图象在点处的切线平行于轴 （）确定与的关系； （）若，试讨论函数的单调性； （）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（） 证明： 68.查看解析 68. 解析 （）依题意得，则，由函数的图象在点处的切线平行于轴得：. . （3分） （）由（）得函数的定义域为当时，由得，由得，即函数在(0,1) 上单调递增，在单调递减；当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增，综上所述：当时，函数在(0,1) 上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增 （8分） （）依题意得，证，即证因，即证令（），即证（）令（）则在（1，+）上单调递增，=0，即（）. 令，又，在单调递减， 综得（），即 （12分）
