1、2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1设集合S=x|x25x+60，T=x|x0，则ST=（）A（0，23，+）B2，3C（，23，+）D3，+）2已知向量，则ABC=（）A30B60C120D1503已知，则（）AbacBacbCcbaDcab4右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD5在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A13
2、B26C52D566已知tanx=2，则的值是（）ABCD7一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A5B4C3D28在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）ABCD9将函数y=sin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ABx=Cx=Dx=10已知ABC内接于单位圆，且ABC面积为S，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段（）A不能构成三角形B能构成一个三角形，其面积为C能构成一个三角形，其面积大于D能构成一个三角形，其面积小于11设等差数列an的前n项和为Sn，
3、且满足S20160，S20170，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k的值为（）A1006B1007C1008D100912直线ax+by+c=0与圆x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2，则（O为坐标原点）等于（）A7B14C7D14二、填空题：本题共4小题，共20分.13已知平面向量，且，则m=14长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为15正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，a=3，
4、cos（BA）=，则ABC的面积为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，（1）求数列an的首项a1及公差为d；（2）证明：数列为等差数列并求其前n项和Tn18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（B）（）求角B的大小；（）若b=，ABC的面积为，求a+c的值19某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得
5、到如表资料： 日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日温差x（） 8 11 12 13 10发芽数y（颗） 16 25 26 30 23设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： =，）20如
6、图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积21在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， =（sinA，sinBsinC），=（ab，b+c），且（1）求角C的值；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ab的取值范围22设函数f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），记|f（x）|的最大值为A（1）当a=2时，求A；（2）当a0时，求A2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选
7、择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1设集合S=x|x25x+60，T=x|x0，则ST=（）A（0，23，+）B2，3C（，23，+）D3，+）【考点】交集及其运算【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可【解答】解：由S中不等式变形得：（x2）（x3）0，解得：x2或x3，即S=（，23，+），T=（0，+），ST=（0，23，+），故选：A2已知向量，则ABC=（）A30B60C120D150【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由题意可得， =（，），|=1，|=1，再利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量
8、积的定义求得 cosABC 的值，可得ABC 的值【解答】解：向量，=（，），|=1，|=1，=+（）=11cosABC，cosABC=，ABC=150，故选：D3已知，则（）AbacBacbCcbaDcab【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】根据幂函数和指数函数的单调性判断即可【解答】解： =，由函数y=在（0，+）上为增函数，故ac，由函数y=2x在R上为增函数，故ba，故cab，故选：D4右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两
9、人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩=90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩=88.4+当X=8或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1=故选C5在等差数列an中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（）A13B26C52D56【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】可得a3
10、+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得a4+a10=4，而S13=，代入计算可得【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得32a4+23a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和S13=26故选B6已知tanx=2，则的值是（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】化简所求的表达式，为正切函数的形式，代入求解即可【解答】解：tanx=2，则=故选：B7一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A5B4C3D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的
11、底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，写出组合体体积的表示式，解方程即可【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，根据组合体的体积的值，得到12=12，x=3，故选C8在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）ABCD【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【分析】根据，A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案【解答】解：，A是正确的，同理B也正确
12、，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选C9将函数y=sin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ABx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x），利用正弦函数的对称性即可求得答案【解答】解：将函数y=sin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x），再将g（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin2（x+）=sin（2x+
13、）=sin（2x+），由2x+=k+（kZ），得：x=+，kZ当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A10已知ABC内接于单位圆，且ABC面积为S，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段（）A不能构成三角形B能构成一个三角形，其面积为C能构成一个三角形，其面积大于D能构成一个三角形，其面积小于【考点】三角形的面积公式【分析】设ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得， =2可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC由a，b，c为三角形的三边判断即可【解答】解：设ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得， =2a=2sinA，b=2sinB，c
14、=2sinCa，b，c为三角形的三边sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选D11设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S20160，S20170，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k的值为（）A1006B1007C1008D1009【考点】等差数列的前n项和【分析】设等差数列an的公差为d，由于满足S2016=0，S2017=2017a10090，可得：a1008+a10090，a10080，a10090，d0，即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，满足S2016=0，S2017=2017a10090，a1008+a10090，a10080，a10
15、090，d0，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k=1009故选：D12直线ax+by+c=0与圆x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2，则（O为坐标原点）等于（）A7B14C7D14【考点】平面向量数量积的运算【分析】取MN的中点A，连接OA，则OAMN由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在RtAON中，得到cosAON，利用倍角公式求出cosMON的值，最后根据向量数量积的公式即可算出的值【解答】解：取MN的中点A，连接OA，则OAMN，c2=a2+b2，O点到直线MN的距离OA=1x2+y2=16的半径r=4，RtAON中，设AON=，得cos=，cosMON=cos
16、2=2cos21=21=，由此可得， =|cosMON=44（）=14故选：B二、填空题：本题共4小题，共20分.13已知平面向量，且，则m=4【考点】平行向量与共线向量【分析】根据题意，有，进而根据向量平行的充要条件，构造方程m+4=0，解可得答案【解答】解：，m+4=0m=4故答案为：414长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为【考点】几何概型【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可【解答】解：根据几何概型得：取到的点到O的距
17、离大于1的概率：=故答案为：15正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4【考点】球内接多面体【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，正四面体ABCD的棱长为4，正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆
18、的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=2，得到截面圆的面积最小值为S=r2=4故答案为：416在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，a=3，cos（BA）=，则ABC的面积为5【考点】两角和与差的余弦函数；正弦定理【分析】作作ABD=A，交AC于D，则在BCD中使用余弦定理解出CD，利用余弦定理求出cosC，从而得出sinC，代入面积公式即可求出面积【解答】解：在ABC中，作ABD=A，交AC于D，设AD=BD=x，则CD=5x，a=3，cos（BA）=，在BCD中，由余弦定理得：（5x）2=x2+923x，解得x=3，CD=2，
19、BD=3，cosC=，sinC=，ABC的面积为53=5故答案为：5三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，（1）求数列an的首项a1及公差为d；（2）证明：数列为等差数列并求其前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出（2）利用等差数列的定义通项公式及其求和公式即可得出【解答】（1）解：S7=7，S15=75，解得a1=2，d=1（2）证明：由（1）得：an=2+（n1）=n3Sn=，则=n2，=故数列是等差数
20、列，Tn=18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（B）（）求角B的大小；（）若b=，ABC的面积为，求a+c的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知条件和正弦定理化简可得cosB值，结合0B可得；（）由题意和三角形的面积公式可得ac=4，由余弦定理和配方法整体可得【解答】解：（）在ABC中bcosA=（2c+a）cos（B），由正弦定理可得sinBcosA=2sinC（cosB）+sinA（cosB），sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosB，sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，由0B可得；（），ac=4，由余
21、弦定理可得b2=a2+c22accosB=（a+c）22ac+ac=21，（a+c）2=25，a+c=519某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料： 日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日温差x（） 8 11 12 13 10发芽数y（颗） 16 25 26 30 23设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取
22、的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： =，）【考点】线性回归方程【分析】（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有4种根据等可能事件的概率做出结果（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（3）根据估计数据与所选出的检
23、验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的【解答】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P（A）=10.4=0.6故选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率是0.6；（2）由数据，求得=（11+13+12）=12， =（25+30+26）=27，由公式求得=， =3所以关于x的线性回归方程为y=x3（3）当x=10时，y=x3=22，|2223|2，同样，当x=8时，y=x3=17，|1716|2所以，该研究所得到的
24、线性回归方程是可靠的20如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（）证明：平面AEF平面B1BCC1；（）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（）证明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF平面B1BCC1；（）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积【解答】（）证明：几何体是直棱柱，BB1底面ABC，AE底
25、面ABC，AEBB1，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；（）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（）可知CG平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，则A1G=CG=，AA1=，CF=三棱锥FAEC的体积：=21在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， =（sinA，sinBsinC），=（ab，b+c），且（1）求角C的值；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求ab的取值范围【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算
26、【分析】（1）由两向量的坐标及两向量垂直，得到数量积为0，列出关系式，利用正弦定理化简后整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用正弦定理化简表示出a与b，代入所求式子，整理为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围【解答】解：（1）=（sinA，sinBsinC），=（ab，b+c），且，sinA（ab）+（sinBsinC）（b+c）=0，利用正弦定理化简得：a（ab）+（b+c）（bc）=0，即a2+b2c2=ab，cosC=，C（0，），C=；（2）由（1）得A+B=
27、，即B=A，又ABC为锐角三角形，解得：A，c=1，由正弦定理得： =2，a=2sinA，b=2sinB，ab=2sinA2sinB=2sinA2sin（+A）=2sinA2sincosA2cossinA=sinAcosA=2sin（A），A，A，sin（A），即12sin（A），则ab的取值范围为（1，）22设函数f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），记|f（x）|的最大值为A（1）当a=2时，求A；（2）当a0时，求A【考点】三角函数的最值【分析】（1）根据二倍角公式和二次函数的值即可求出（2）a的取值，利用分类讨论的思想，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=2cos2x+cosx+1=4cos2x+cosx+1=4（cosx+）2，cosx1，1，f（x），4，A=4（2）f（x）=2acos2xa+（a1）cosx+a1=2acos2x+（a1）cosx1，令cosx=t1，1，则f（t）=2at2+（a1）t1=2a（t）21当1即0a时，f（1）=a，f（1）=3a2，|a|3a2|，A=23a，当01，即a1时，|f（）|=1+|f（1）|=a，A=1+当10，即a1时，此时|f（）|=1+，|f（1）|=3a2，3a21=0A=3a2，综上所述A=2016年8月25日
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