1、专题26 圆锥曲线的方程与性质一命题陷阱：1.圆锥曲线定义陷阱 ；2.焦点位置不同，造成的标准方程不同；3.圆锥曲线性质的应用陷阱；4.在求距离、弦长时繁杂的运算陷阱；5在圆锥曲线中与三角形面积有关的运算技巧陷阱.二知识点回顾1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距2椭圆的标准方程(1) ，焦点，其中(2) ，焦点，其中3椭圆的几何性质以为例(1)范围：(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心：(3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距.(4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆(5) 的关系：
2、.4双曲线的定义： 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距5双曲线的标准方程(1) ，焦点，其中(2) ，焦点，其中6双曲线的几何性质以为例(1)范围：(2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距.(4)离心率(5) 渐近线方程.7抛物线的定义： 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 8抛物线的标准方程(1) 对应的焦点分别为：. (2)离心率.三例题分析1、圆锥曲线定义陷阱例1. 设椭圆的
3、左、右焦点分别为， 是上任意一点，则的周长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意的周长为: ,故选D防陷阱措施：在有关焦点三角形中注意运用圆锥曲线的定义.练习1.椭圆上的点到一个焦点的距离为， 是的中点，则点到椭圆中心的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B练习2.设分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点， 在轴上的截距为1，若，且轴，则此椭圆的长轴长为（ ）A. B. 3 C. D. 6【答案】D【解析】轴， 在轴上的截距为1，则， ，则 ， ， ， ， ， ， .选D .例2. 已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离
4、心率的取值范围是( )A. (1，) B. (1,2 C. (1， D. (1,3【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1. 已知是双曲线的右焦点， 是轴正半轴上一点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点（为坐标原点）.若点三点共线，且的面积是的面积的倍，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得， , 即，选D.练习2. 设、分别为双曲线（， ）的左、右焦点， 为双曲线右支上任一点若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B又双曲线的离心率,故答案选例3. 已知抛物线，过点作
5、抛物线的两条切线， 为切点，若直线经过抛物线的焦点， 的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D防陷阱措施：在有关问题中注意运用圆锥曲线的定义和平面几何性质.练习1. 设为抛物线的焦点， 为该抛物线上三点，若，那么 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则由可得，即，所以由抛物线的定义可得，应选答案B。练习2. 已知抛物线的焦点为， ， 为抛物线上两点，若， 为坐标原点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】规律总结：1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，通常利用定义求解.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外
6、，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为，或设为.3.椭圆中有“两轴”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)及相互间的距离等.4.注意平面几何知识的运用.5.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理6若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到2.圆锥曲线方程，焦点在轴上陷阱例4. 椭圆的一个顶点在抛物线的准线上，则椭圆的离心率（ ）A. B. C. 4 D. 【答案】B防陷阱措施：
7、圆锥曲线的标准方程问题中，首先要考查焦点的位置.练习1.椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由椭圆方程可知： ，椭圆的离心率为故选：B练习2.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】方程表示双曲线，故选：B3.圆锥曲线性质的应用陷阱例5.有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为: （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得：设周长为 当且仅当共线时，周长的最小。防陷阱措施：这类问题要充分考虑几何性质的应用.练习1. 一动圆与圆外切，
8、而与圆 内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 椭圆或双曲线一支 D. 抛物线【答案】C【解析】设动圆的半径为,当圆时因为与圆外切所以,与圆内切所以,而,所以符合双曲线的定义并且是所以指其中一支，当圆时， , 所以符合椭圆得定义故选C练习2. 设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】4.在求距离、弦长时繁杂的运算陷阱例6. 设为双曲线的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若， ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
9、解析】设,则。在中由余弦定理可得。,为直角三角形，且。设双曲线的右焦点为F1，连P F1,Q F1，由题意可得点关于原点对称，所以四边形FPF1Q为矩形，因此。即该双曲线的离心率为.选B.防陷阱措施：这类问题要充分考虑几何性质的应用.练习1离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设是优美椭圆， 、分别是它的左焦点和右顶点， 是它的短轴的一个顶点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，在三角形中有， ， ， ，所以等于故选练习2已知拋物线的焦点，点和分别为拋物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作拋物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设
10、，连接由抛物线定义，得在梯形中，由余弦定理得，配方得，又，得到|所以=，即的最大值为故选：D练习3. 抛物线的焦点为，设， 是抛物线上的两个动点， ，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D选D.5在圆锥曲线中与三角形面积有关的运算技巧陷阱.例7. .已知椭圆的左、右焦点分别为、， 为椭圆上一点，且，若的面积为9，则_【答案】3【解析】根据椭圆定义，则 ，又根据勾股定理： ，有，则.练习1.设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D练习2.已知抛物线的焦点为， ， 为抛物线上两点，若， 为坐标原点，则的面积为（ ）A. B.
11、 C. D. 【答案】B【解析】如图所示，根据抛物线的定义， 则 可得，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线的倾斜角为 ，直线 的方程为 ，联立直线与抛物线的方程可得 ，所以 ，当直线的倾斜角为 时，同理可求，故选B.防陷阱措施：1. 三角形求面积问题，如果三角形被坐标轴分成两部分时，一般通过求两个三角形的面积求解2.求角的问题中一般运用三角形的正弦定理和余弦定理求解，或利用直线的斜率求解，解答过程中注意使用特殊情况，比如相切.3.长度问题注意使用圆锥曲线的定义求解.四高考真题训练1.椭圆的离心率是ABCD【答案】B【解析】试题分析：，选B2.已知椭圆C：，（ab0）的左、右顶点分
12、别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为ABCD【答案】A3.已知椭圆C1：+y2=1(m1)与双曲线C2：y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）Amn且e1e21 Bmn且e1e21 Cm1 Dmn且e1e21【答案】A【解析】由题意知，即，代入，得故选A4.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）（A）（B） （C） （D）【答案】A5.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .【答案】【解析】设圆
13、心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.6.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 .【答案】【解析】由题意得，因此7.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A2 B C D【答案】A8.已知双曲线C： (a0,b0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为ABCD【答案】B故选B.9.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A） （B）（C）（D）【答案】【解析】由题意得 ，选B.10.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】表示双曲线,则,由双曲线性质知：,其中是半焦距焦距,解得,故选A11.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】12已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）A B C D【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示， ，过点作轴，垂足为，在中，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D
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