1、2016-2017学年四川省绵阳市高三（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1集合A=x|2x3，B=xZ|x25x0，则AB=（）A1，2B2，3C1，2，3D2，3，42命题“xR，x2x+10”的否定是（）Ax0R，x02x0+10Bx0R，x02x0+10Cx0R，x02x0+10Dx0R，x02x0+103九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A8B9C10D114实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A0B1C2D5命题1，命题q：lnx1
2、，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件62016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A300元B400元C500元D600元7
3、要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A个B个C个D个8已知sin+cos=2sin，sin2=2sin2，则（）Acos=2cosBcos2=2cos2Ccos2+2cos2=0Dcos2=2cos29已知定义在0，+）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x0，1）时，f（x）=x2+x设f（x）在n1，n）上的最大值为an（nN*），则a3+a4+a5=（）A7BCD1410ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则A的角平分线AD的长为（）ABC2D111如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点
4、，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）ABCD12若函数f（x）=x4+4x3+ax24x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B（1，+）C（，+）D（，+）二、填空题13若向量满足，则x=14公差不为0的等差数列an中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=15函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2）处的切线与直线y=x平行，则f（x）的极值点是16f（x）定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=x3，若对任意x2t1，2t+3，不等式f（3xt）8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是三.解答题（共70
5、分）17函数的图象（部分）如图（1）求f（x）解析式（2）若，求cos18设数列an前n项和为Sn，已知Sn=2an1（nN*），（1）求数列an的通项公式；（2）若对任意的nN*，不等式k（Sn+1）2n9恒成立，求实数k的取值范围19ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为ABC的外接圆的圆心若cosA=，求ABC的面积S；若D为BC边上任意一点，求sinB的值20f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：2.4）（2）若存在，使得f（x）kx2+cosx成立，求实数k的取值范围21已知函数f（
6、x）=lnx+ax21，g（x）=exe（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x（1，+），mg（x）f（x）恒成立，求实数m的取值范围极坐标与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin2=4cos；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+1|x1|+a（aR）（）若a=1，求不等式f（x）0的解集；（）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围2016-2
7、017学年四川省绵阳市高三（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分）1集合A=x|2x3，B=xZ|x25x0，则AB=（）A1，2B2，3C1，2，3D2，3，4【考点】交集及其运算【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出AB【解答】解：集合B=xZ|x25x0=xZ|0x5=1，2，3，4，且集合A=x|2x3，AB=1，2，故选A2命题“xR，x2x+10”的否定是（）Ax0R，x02x0+10Bx0R，x02x0+10Cx0R，x02x0+10Dx0R，x02x0+10【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可
8、【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，x2x+10”的否定是：x0R，x02x0+10故选：D3九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A8B9C10D11【考点】等差数列的通项公式【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，a
9、5=5，由S7=28，得7a4=28，a4=4，则d=a5a4=1，a9=a5+4d=5+41=9故选：B4实数x，y满足，则z=2x+y最大值为（）A0B1C2D【考点】简单线性规划【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：x，y对应的可行域如图：z=2x+y变形为y=2x+z，当此直线经过图中A（1，0）时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为21+0=2；故选C5命题1，命题q：lnx1，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合
10、的包含关系判断即可【解答】解：1，即p：x0；命题q：lnx1，即：0xe，则p是q成立的必要不充分条件，故选：B62016年国庆期间，某大型商场举行购物送劵活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵，根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠劵B：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%若顾客想使用优惠劵C，并希望比使用优惠劵A或优惠劵B减免的钱都多，则他购买的商品的标价应高于（）A300元B
11、400元C500元D600元【考点】函数模型的选择与应用【分析】根据条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价【解答】解：设标价为x元，则（x200）20%x10%且（x200）20%30，x400，即他购买的商品的标价应高于400元故选B7要得到函数f（x）=sin2x+cos2x的图象，可将y=2sin2x的图象向左平移多少个单位（）A个B个C个D个【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据两角和差的正弦公式求得 f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出
12、结论【解答】解：由于函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），故将y=2sin2x的图象向左平移个单位，可得 f（x）=2sin（2x+）的图象，故选：A8已知sin+cos=2sin，sin2=2sin2，则（）Acos=2cosBcos2=2cos2Ccos2+2cos2=0Dcos2=2cos2【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得1+sin2=4sin2，再利用二倍角公式化简可得cos2=cos2，从而得出结论【解答】解：sin+cos=2sin，sin2=2sin2，1+sin2=4sin2，即1+
13、2sin2=4sin2，即1+2=4，化简可得cos2=2cos2，故选：D9已知定义在0，+）上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x0，1）时，f（x）=x2+x设f（x）在n1，n）上的最大值为an（nN*），则a3+a4+a5=（）A7BCD14【考点】抽象函数及其应用【分析】f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x0，1）时，f（x）=x2+x=+可得a1=f（），q=2，可得an，即可得出【解答】解：f（x+1）=2f（x），就是函数f（x）向右平移1个单位，最大值变为原来的2倍，当x0，1）时，f（x）=x2+x=+a1=f
14、（）=，q=2，an=2n3，a3+a4+a5=1+2+22=7故选：A10ABC中，cosA=，AB=4，AC=2，则A的角平分线AD的长为（）ABC2D1【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由条件利用余弦定理求得BC、cosB的值，根据角平分线的性质求得BD的值，再利用余弦定理求得AD的值【解答】解：在ABC中，因为cosA=，AB=4，AC=2，则由余弦定理可得BC2=AB2+AC22ABACcosA=16+416=18，解得BC=3，所以cosB=，根据角平分线的性质可得：=，所以BD=，CD=，由余弦定理得，AD2=AB2+BD22ABBDcosB=16+824=4，则AD=2，故选C
15、11如图，矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，过P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于M，E，N，若，则2m+3n的最小值是（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】梅涅劳斯定理，求出m，n的关系，即可利用基本不等式求解2m+3n的最小值【解答】解：矩形ABCD，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，可得：，由梅涅劳斯定理，可得：，即，2m+3n=5mn，2m+3n，解的：mn当且仅当2m=3n时取等号，2m+3n=5mn故选C12若函数f（x）=x4+4x3+ax24x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A（2，+）B（1，+）C（，+）D（
16、，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】问题转化为ax2x44x3+4x1，x=0时，成立，x0时，a4（x）2，求出a的范围即可【解答】解：f（x）=x4+4x3+ax24x+10，ax2x44x3+4x1，x=0时，成立，x0时，ax24（x）=4（x）2，设x=t，则at24t2=（t+2）2+2，要使x0时a恒大于（t+2）2+2，则只需a比（t+2）2+2的最大值大，故a2，综上，a2，故选：A二、填空题13若向量满足，则x=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值【解答】解：，又，且，x1=0，即x=1故答案为：114公差不为0的
17、等差数列an中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5=13【考点】等差数列的通项公式【分析】设等差数列an的公差d0，由a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，可得2a1+2d=8，联立解出即可得出【解答】解：设等差数列an的公差d0，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，2a1+2d=8，解得a1=1，d=3则a5=1+34=13故答案为：1315函数f（x）=的图象在点（e2，f（e2）处的切线与直线y=x平行，则f（x）的极值点是x=e【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，根据f（e2）=，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的导数
18、，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可【解答】解：f（x）=，故f（e2）=，解得：a=1，故f（x）=，f（x）=，令f（x）=0，解得：x=e，经检验x=e是函数的极值点，故答案为：x=e16f（x）定义在R上的偶函数，且x0时，f（x）=x3，若对任意x2t1，2t+3，不等式f（3xt）8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（，301，+）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质【分析】由题意f（x）为R上偶函数，f（x）=x3 在x0上为单调增函数知|3xt|2x|，转化为对任意x2t1，2t+3，5x26xt+t20 恒成立问题【解答】解：f（x）为R上偶函数，f（x）=x3
19、在x0上为单调增函数，f（3xt）8f（x）=f（2x）；|3xt|2x|；（3xt）2（2x）2；化简后：5x26xt+t20 ；（1）当t0时，式解为：x或 xt；对任意x2t1，2t+3，式恒成立，则需：t2t1 故t1；（2）当t0时，是解为：xt 或 x；对任意x2t1，2t+3，式恒成立，则需：2t+3t故t3；（3）当t=0时，式恒成立；综上所述，t3或t1或t=0故答案为：（，301，+）三.解答题（共70分）17函数的图象（部分）如图（1）求f（x）解析式（2）若，求cos【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，解出，求出
20、，即可得到函数的解析式（2）利用已知条件转化求出角的正弦函数，利用角的变换，求解即可【解答】解：（1）由图得：A=2由，解得= 由，可得，解得，又，可得，（2）由（）知，由（0，），得（，）， = 18设数列an前n项和为Sn，已知Sn=2an1（nN*），（1）求数列an的通项公式；（2）若对任意的nN*，不等式k（Sn+1）2n9恒成立，求实数k的取值范围【考点】数列与函数的综合；函数恒成立问题；数列递推式【分析】（1）求出数列的首项，利用an=SnSn1，求解数列的通项公式（2）由k（Sn+1）2n9，整理得k，令，判断数列的单调性，求出最大项，然后求解实数k的取值范围【解答】解：（1）
21、令n=1，S1=2a11=a1，解得a1=1由Sn=2an1，有Sn1=2an11，两式相减得an=2an2an1，化简得an=2an1（n2），数列an是以首项为1，公比为2 的等比数列，数列an的通项公式（2）由k（Sn+1）2n9，整理得k，令，则，n=1，2，3，4，5时，b1b2b3b4b5n=6，7，8，时，即b6b7b8b5=，bn的最大值是实数k的取值范围是19ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4，O为ABC的外接圆的圆心若cosA=，求ABC的面积S；若D为BC边上任意一点，求sinB的值【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理【分析】由
22、，得，代入三角形面积公式求得ABC的面积S；由，利用余弦定理求出，再由正弦定理求得sinB的值【解答】解：由，得，；由，可得，于是，即，（1）又O为ABC的外接圆圆心，则， =，（2）将（1）代入（2），得到=，解得|=4由正弦定理得，可解得sinB=20f（x）=xsinx+cosx；（1）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论（参考数据：2.4）（2）若存在，使得f（x）kx2+cosx成立，求实数k的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调性，根据零点的判定定理证明即可；（2）求出 令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的
23、范围即可【解答】解：（1）f（x）=sinx+xcosxsinx=xcosx，x（2，3）时，f（x）=xcosx0，函数f（x）在（2，3）上是减函数 又，f（3）=3sin3+cos30，由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点（2）由题意等价于xsinx+cosxkx2+cosx，整理得 令，则，令g（x）=xcosxsinx，g（x）=xsinx0，g（x）在上单调递减，即g（x）=xcosxsinx0，即在上单调递减，即 21已知函数f（x）=lnx+ax21，g（x）=exe（1）讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，且对于任意的x（1，+），mg（x）f（x）恒
24、成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导得f（x）=，对a进行分类讨论，然后解不等式，即可分别求出单调区间；（2）构造新函数h（x）=m（exe）（lnx+x21），利用转化思想，将条件转化为对于任意的x（1，+），h（x）0恒成立，h（x）=mex（），则h（1）=me3若h（1）0，存在x（1，+），使得h（x）0，不符合条件；若h（1）0，则h（x）2x，利用导数可判断（x）=2x0在（1，+）上恒成立，即h（x）0恒成立，则h（x）在（1，+）上单调递增，从而h（x）h（1）=0恒成立，故m的取值范围为，+）【解答】解：（
25、1）易知f（x）的定义域为（0，+），f（x）=a0时，f（x）0恒成立，故f（x）的单调增区间为（0，+），无单调减区间；a0时，由f（x）0，得0x；由f（x）0，得x，故f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+）；（2）a=1时，f（x）=lnx+x21记h（x）=mg（x）f（x）=m（exe）（lnx+x21），x（1，+），则h（1）=0，对于任意的x（1，+），mg（x）f（x）恒成立，对于任意的x（1，+），h（x）0恒成立，h（x）=mex（），则h（1）=me3若h（1）0，即m，则存在x0（1，+），使得x（1，x0）时，h（x）0，即h（x）在（1，x0）上单
26、调递减，此时h（x）h（1）=0，不符合条件；若h（1）0，即m，则h（x）2x，令（x）=（x1），（x）=0，（x）在（1，+）上单调递增，（x）（1）=0，即h（x）（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增，h（x）h（1）=0，即对于任意的x（1，+），h（x）0恒成立，综上可得，m极坐标与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为sin2=4cos；（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）
27、利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可（2）参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可【解答】解：（1）由曲线C的原极坐标方程可得2sin2=4cos，化成直角方程为y2=4x（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，t1t2=150，于是点P在AB之间，选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+1|x1|+a（aR）（）若a=1，求不等式f（x）0的解集；（）若方程f（x）=x有三个实数根，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数零点的判定定理【分析】（）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）6的解集（）函数f（x）的图象与直线y=x有3个不同的交点，数形结合可得a的范围【解答】解：（）a=1时，f（x）=|x+1|x1|+1，当x1时，f（x）=1，不可能非负当1x1时，f（x）=2x+1，由f（x）0可解得x，于是x1当x1时，f（x）=30恒成立不等式f（x）0的解集（）由方程f（x）=x可变形为a=x+|x1|x+1|令作出图象如右 于是由题意可得1a12017年2月6日
