1、广东省广州六中2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】化简集合A，求出交集即可得到结果.【详解】,，,元素个数为4个，故选：C【点睛】本题主要考查了分式不等式，集合的交集，属于容易题.2.复数z满足，则在复平面上复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求出z,即可求解.【详解】
2、,复数对应的点位于第三象限，故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的共轭复数，复数的坐标表示，属于容易题.3.若，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得的值，然后利用，求得的值.【详解】由于，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，属于中档题.4.在中，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解.【详解】，故选D【点睛】本题主要考查向量的三角形法则和平行四边形法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.如图所示，程序
3、框图的输出结果是s=，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（ ）A. n8？B. n8？C. n10？D. n10？【答案】B【解析】试题分析：首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质然后对循环体进行分析，找出循环规律判断输出结果与循环次数以及i的关系最终得出选项解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2满足条件，s=，n=4满足条件，s=，n=6满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出s值为结合选项，判断框中应填入的关于n的判断条件是：n8？故选B考点：程序框图6.已知正项等比数列满足，若，则为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条
4、件求出等比数列的首项和公比，通过等比数列的性质将进行转化，利用首项和公比表示，得到关于的表达式，解出答案【详解】解：正项等比数列满足，可知其公比，且可得，解得，代入，可得，可得，而所以，即，解得故选C【点睛】本题考查利用等比数列的基本量进行计算以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题7.定义在上的函数满足以下三个条件：对于任意的，都有；函数的图象关于轴对称；对于任意的，都有则、从小到大的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得函数的周期为2，由得函数的对称轴为x=1,由得函数的单调性，综合以上函数的性质可以推理得解.【详解】对于任意的，都有,所以
5、函数的周期为T=2;函数的图象关于轴对称,所以函数f(x)关于直线x=1对称；对于任意的，都有，所以函数在（0,1）单调递增，因为f(3)=f(1),f()=f(),f(2)=f(0),10，所以，故选D【点睛】本题主要考查函数的周期性、对称性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A. B. C. -2D. 2【答案】A【解析】【分析】根据函数的求导运算得到导函数，根据题干所给的垂直关系，得到方程，进而求解.【详解】由题意得，在点处的切线与直线垂直，解得，故选A【点睛】这个题目考查了函数的求导法则，涉及到导数的几何意义的应
6、用，属于基础题.9.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据所给函数，画出函数图象，根据及恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围【详解】由题意，画出函数的图象如下图所示：恰有三个零点即有三个不同交点，即有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在之间时，有三个交点即 所以可得所以选A【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题10.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似最强大脑的PK赛，两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1
7、分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定A队的得分高于B队的得分的情况，再分类讨论利用独立事件乘法公式求对应情况的概率，最后根据加法计数原理求结果.【详解】A队的得分高于B队的得分的情况有三种：A队的得分为5分，A队的得分为4分，A队的得分为3分.当A队的得分为5分时，概率为当A队的得分为4分时，概率为当A队的得分为3分时，概率为因此所求概率为故选：C【点睛】本题考查独立事件乘法公式、分类加法计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题.11.过双曲线=
8、 1 （a 0,b 0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线， 垂足为A，与另一条渐近线交于B点， 若， 则双曲线的离心率为A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：如下图所示，由得：，所以，从而点B的坐标为，代入得：，整理得：.选A.考点：双曲线.12.正方体的棱长为1，点在正方体的表面上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径. 已知点到的最短路径等于点到点的最短路径. 则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将正方形和正方形展开成平面图形，根据等于，求得的最大值.【详解】将正方形和正方形展开成平面图形如下图所示.连接交于，根据矩形的对称性可知是
9、线段的中点，且.过作，分别交于.由于等于，所以点的轨迹为线段，则的最大值为.在中，由射影定理得，所以.所以故选：B【点睛】本小题主要考查正方体的侧面展开图，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知随机变量,且,则_.【答案】【解析】【分析】随机变量,根据正态分布曲线的特征，可以知道曲线关于对称，所以通过，可以求出，根据对称性可以求出的值.【详解】因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称，因此有,.【点睛】本题考查了正态分布，正确掌握正态分布曲线的性质，是解题的关键.14.设，则二项式的展开式中含项的系数为_.【答案】【解析】【分析】根据微积分基本定理首先求出的值
10、，然后再根据二项式的通项公式求出的值，问题得以解决【详解】，展开式通项为：，令，得，故含项的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于容易题15.已知抛物线C：的焦点为F，点M(x0，2)()是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x交于E，G两点，若sinMFG，则抛物线C的方程是_.【答案】y2=4x【解析】【分析】根据点在抛物线上和，列方程组可解得和，即可得出抛物线的方程.【详解】如下图所示，作，垂足为由题意知点M(x0，2)()在抛物线上，则，由抛物线的定义，可知，因为，所以，所以，解得，由解得（舍去）或，故抛物线的方程为故答案为：.【点
11、睛】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，考查方程思想的应用，属于中档题.16.凸四边形中，已知，则_.【答案】【解析】【分析】如图，设，先求出，再求出，再利用正弦定理求出即得解.【详解】如图，设，在中，因为，所以由余弦定理得，所以.在中，所以，在中，.由正弦定理得.故答案为：.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.已知数列的前项
12、和（1）求数列的通项公式；（2）求的最大或最小值及相应的.【答案】（1）；（2）当时，取得最小值.【解析】【分析】（1）利用，即可求出时，数列的通项公式，然后检验，最终可得结果；（2）利用的二次函数性质可求得其最小值及相应的n【详解】（1） 当时， 也适合上式， （2）当时，取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，考查了求等差数列和的最小值问题，关键是将其转化为二次函数的最值问题，属于中档题18.如图，PABCD是正四棱锥，是正方体，其中（1）求证：；（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】本试题主要是考查了线面垂直
13、定理和二面角平面角的求解的综合运用（1）建立空间直角坐标系，然后利用点的坐标得到向量的坐标，运用数量积为零证明垂直的问题（2）再运用向量的夹角公式表示二面角的平面角的求解的（理）解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系（1）证明:设E是BD的中点，PABCD是正四棱锥，又， ， 即.-5分（2）解:设平面PAD的法向量是，取得，又平面的法向量是， .-10分19.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，是椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）作斜率为的直线与交于两点，且点在直线的左上方. 证明：的内切圆圆心在直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件求出，然后建立、方程
14、组求解；（2）设直线，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理得到、，然后算出即可.【详解】（1）因为，所以，故.因为在椭圆上，所以. 解得.所以椭圆的标准方程是.（2）设直线. 将代入中，化简整理得.于是， 则因此的角平分线平行于轴所在直线，所以的内切圆圆心在直线上.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.20.某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地
15、的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参
16、考数据：，.【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）2台.【解析】【分析】(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.【详解】（1）由已知数据可得，.，.相关系数 .，可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），故的分布列为200060000.20.8（元）.安装3台光照控制仪的情形：当时，只
17、有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），当时，3台光照控制仪都运行，周总利润（元），故的分布列为1000500090000.20.70.1（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布
18、列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.21.已知函数（，为自然对数的底数），若对于恒成立（1）求实数的值；（2）证明：存在唯一极大值点，且【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）对函数f(x)提取公因式，可知只需，而，所以是的一个极小值点，可解得（2）由（1）知，令，则，由单调性及，知在上存在，满足,可知在上只有一个极小值点0，存在唯一的极大值点，且再由隐零点回代可证得不等式成立试题解析：（1）由，可得，因为，所以，从而是的一个极小值点，由于，所以，即当时，时，在上单调递减，时，在上单调递增；，故（2）当时，令，则，时，在上为减
19、函数；时，在上为增函数，由于，所以在上存在满足，在上为减函数，时，即，在上为增函数，时，即，在上为减函数，时，即，在上为减函数，时，即，在上为增函数，因此在上只有一个极小值点0，综上可知，存在唯一的极大值点，且，所以，时，；，；综上知：【点睛】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数（二）选考题：共10分.
20、 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点，斜率为，直线与曲线相交于两点.（1）写出曲线的普通方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)消参得到曲线的普通方程.(2)利用直线参数方程求的值.【详解】（1）曲线（为参数）则，即；（2）直线（为参数）将直线l代入中，得由于，故点在椭圆的内部，因此直线l与曲线C的交点A,B位于点P的两侧，即点A,B所对应的t值异号.设点A的对应值为，点B的对应值为，则，（也可以通过判断异号）故【点睛】（1）本题主要考查曲线
21、的参数方程普通方程的互化，考查直线的参数方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.（2）由 直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离,不管两点在哪里，总有.选修45：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲关于的不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若，且，求证：.【答案】（1）1（2）见解析【解析】分析：（1）先化简得到,再根据二次函数的图像性质得到m的值.(2)利用综合法证明不等式.详解：（）解： ，整理得:,由题可得：，即，（）证明：abc1，ab2，bc2，ca2，()2abc222，()2，所以 (当且仅当abc时取等号)成立点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式和不等式的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力.(2) 不等式的证明常用的有六种方法:比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法.
