1、广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二数学上学期第一次阶段性考试试题 理（含解析）注意事项：试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题包括12小题.每小题只有一个选项符合题意.每小题5分，共60分）1. 已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据角的终边经过点，可得，再根据计算求得结果【详解】已知角的终边经过点，则，故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数
2、的定义，属于基础题2. 已知向量，若，则=（ ）A. 0B. C. 6D. 【答案】C【解析】分析】先建立方程，再求解即可.【详解】解：因为向量，且，所以，解得：，故选：C.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、向量数量积的坐标表示，是基础题.3. 已知数列是等差数列，且，则（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】A【解析】【分析】直接利用等差中项求解.【详解】因为数列是等差数列，且，所以，故选：A【点睛】本题主要考查等差中项的应用，属于基础题.4. 在中，则解此三角形可得（ ）A. 一解B. 两解C. 无解D. 解得个数不确定【答案】C【解析】【分析】先由正弦定理得到，再判断出角不存在
3、，此三角形无解.【详解】解：由正弦定理得：，所以角不存在，所以此三角形无解.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的解的个数，是基础题.5. 如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()A. b3，ac9B. b3，ac9C. b3，ac9D. b3，ac9【答案】B【解析】因为6. 在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】由题，根据平面向量的加法，表示出，可得的值，可得答案.【详解】在正方形中，为 的中点，所以 又因为所以 即故选：B【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，熟悉四则运算是解题的关键，属于基础题.7. 已知为偶函数，其部
4、分图象如图所示，分别为最高点和最低点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数是一个偶函数，得到，根据A，B两点间距离为，最高点和最低点之间的垂直距离是2，用勾股定理求出半个周期的大小，得到周期，求出【详解】函数ysin（x+）（0，0）为偶函数，A，B两点间距离为，又最高点和最低点之间的垂直距离是2，半个周期是4，周期T8，8，故选C【点睛】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查了与的求解方法，其中运用是关键，属于基础题8. 已知数列前项和为若，则（ ）A. 9B. 27C. 30D. 36【答案】D【解析】【分析】先令求出和，再令求出即可.【详解】解：因为，
5、当时，此时当时，故选：D.【点睛】本题考查利用递推关系求数列的特定项，是基础题.9. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了（ ）A. 千米B. 千米C. 1千米D. 1.5千米【答案】C【解析】【分析】由题意得,可得，设，在中根据正弦定理求得，从而求得，结合山的高度BC为1千米即可求得答案.【详解】如图，过D作交于点，交于点，由题意得则在D处测得山顶的仰角为， 即,则设，在中由正弦定理得：,因为,即，即从A到D前进了1千米，故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生运
6、算能力及思维能力，属于基础题.10. 把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】把函数的图像上每点的横坐标扩大到原来的4倍得的图像，再向左平移得的图像，令求得,故函数的递减区间为，k令k=0得的一个单调递增区间为故选B11. 已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】B【解析】【分析】由题意可得，时，将换为，两式相除，累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值【详解】解：，即，时，两式相除可得，则，由，可得，且，正整数时，要使得成立，则，则，故
7、选：【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.12. 已知函数，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的对称性和最值点列方程组，求得,的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.【详解】由题意知，则其中，又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此当时，此时取可使成立，当时，所以当或时，都成立，舍去；当时，此时取可使成立，当时，所以当
8、或时，都成立，舍去；当时，此时取可使成立，当时，所以当时，成立；综上所得的最大值为故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性和最值等三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题包括4题.共20分）13. 已知向量的夹角为,则 .【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14. 若，则=_【答案】【解析】【分析】由二倍角公式求
9、得，再由诱导公式得结论【详解】由题可得，故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和诱导公式的使用，三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系再选用恰当的公式15. 已知函数与的图象所有交点的横坐标为，则_【答案】7【解析】分析】作出两个函数的图象，利用函数的对称中心为，即可得答案；【详解】作出函数与函数的图象，易得共有7个交点，即不妨设，两个函数均以对称中心，.故答案为：7【点睛】本题考查利用函数的对称中心求函数零点和，
10、考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，是中档题.16. 已知数列中，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，运用累加法和“裂项相消法”求和可得，再将不等式恒成立问题转化为成立，最后解一元二次不等式求实数的取值范围【详解】由题意数列中，即，则有，则有又对于任意的，不等式恒成立，即恒成立，解得或.故答案为：.【点睛】本题考查了数列递推公式、“裂项相消法”求和、不等式恒成立问题求参数、求解一元二次不等式，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.三、计算题（本题包括6题，共70分）17. 在正项等比数列中，且，的等差
11、中项为（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.【详解】解（1）设正项等比数列的公比为，由题意可得，解得数列的通项公式为；（2）.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.18. 在中，角所对的边分别为， .（1）求角的大小；（2）若求【答案】（1） ；（2）或.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可以得到，即可求出角的大小；（2）利用余弦定理并结合（1）中的结论，可以求出，然后解方程组即可求解【详解】解（1）由正弦定理可得：在中，（2）由
12、余弦定理得：或【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题19. 数列满足，（1）设，证明数列是等差数列（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明过程见详解；（2）.【解析】【分析】（1）先化简得到即，再求得，最后判断数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）先求出数列的通项公式，再运用“裂项相消法”求数列的前项和即可.【详解】解：（1）因为，所以因为，所以，且所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）由（1）的，所以所以【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.20. 已知的
13、三个内角的对边分别为，且，（1）求证：；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，联立，得，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案；（2）利用正弦定理和，得，再确定角C的范围，即可得到本题答案.【详解】解：（1）锐角中，故由余弦定理可得：，即，利用正弦定理可得：，即，可得：，可得：，或（舍去），.（2），均为锐角，由于：，.再根据，可得，【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.21. 已知数列满足，是数列的前项和，对任意，都有（1）求（2）证明【答案】（1）；（2）证明过程见详解.【解析】【
14、分析】（1）先建立方程组两式相减并整理得，再判断数列是以1为首项，以为公差的等差数列，最后求出.（2）先根据“放缩法”得到，再令利用 “错位相减法”求出，最后证明.【详解】解（1）由题意两式相减得：，所以，又因为，所以，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.所以（2）证明：因为，所以，所以，令，所以，所以，整理得，所以，所以.【点睛】本题考查利用求，利用“错位相减法”求和、利用“放缩法”证明不等式，还考查了转化的数学思维方式与运算能力，是中档题.22. 已知函数（）的对称中心到对称轴距离的最小值为.（1）求；（2）中，角，的对边分别为，.已知，为函数的一个零点，为所在平面内一点，且满足，求
15、的最小值，并求取得最小值时的面积.【答案】（1）1；（2）最小值，面积为.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将式子化简为，由题可知，所以可得，求出的值即可；（2）易知，即，可求出，进而可得为直角三角形；由可知，进而可得点在以为直径圆上，画出图形进行分析，结合题中条件利用三角函数和平面几何知识计算即可得解.【详解】（1），由题，；（2）由（1）知，由题意，即，因为，所以，所以，解得，为直角三角形，又，点在以为直径的圆上，如图，设为中点，连结，则当点在上时，取得最小值，此时，.设，则，在直角中，当取得最小值时，的面积为.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查三角函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
