1、第四章 导数专练1已知函数，其中且（1）讨论的单调区间，并指出其单调性；（2）若，是的极大值点，求证：解：（1），时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；综上：时，在递增，在递减，时，在递减，在递增；（2）证明：时，令，则，在递减，而，（1），故存在，使得，则，故时，递减，时，递增，时，递减，是的极大值点，令，则，故在递减，而，（1），故，2已知函数（）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（）判断函数的极值点的个数，并说明理由；（）若对任意，恒成立，求的取值范围解：（）当时，（1），又，故（1），故曲线在点，（1）处的切线方程是；（），当时
2、，有，令，解得：，的变化如下：00递减极小值递增当时，函数只有1个极值点，当时，令，解得：或，当时，的变化如下：000递增极大值递减极小值递增故当时，函数有2个极值点，当时，恒成立，故在上单调递增，故当时，函数无极值点，当时，的变化如下：000递增极大值递减极小值递增故当时，函数有2个极值点，综上：当时，函数有1个极值点，当或时，函数有2个极值点，当时，函数无极值点；（）（1）若，由（）可知，在递减，在递增，故，故符合题意，（2）若，当时，又，故不恒成立，故不合题意，综上：的取值范围是，3已知函数（其中为自然对数的底数）（1）求的单调区间；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围解：（1），令，
3、令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无单调递减区间（2）若有两个极值点，即有两个变号零点，令，当时，在上单调递减，最多只有一个零点，不合题意；当时，由（1）得最多只有一个零点，不合题意；当时，令，得，当，当，所以在上单调递减，在，上单调递增，则，而当时，又，根据零点存在性定理可知，使得，令，则式，所以，使得，又在上单调递减，在，上单调递增，故在上有唯一零点，在，上有唯一零点，综上所述，若有两个极值点，的取值范围为4已知函数（）求函数的单调区间；（）若极大值大于2，求的取值范围解：，（）时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，单增；时，令，解得：或，令，
4、解得：，故在递增，在递减，在，单增；时，在单增，的单调递增区间为；时，令，解得：或令，解得：，故在递增，在，递减，在单增；综上：时，在递减，在，单增，时，在递增，在递减，在，单增，时，在单调递增，时，在递增，在，递减，在单增（）由（）可知，当和时，无极大值，不成立，当时，函数的极大值是，解得：，由于，故，当时，函数的极大值是（a），得，令，则，在时取得极大值（4），且（1），而在递增，解得：，故，故的取值范围是，综上：的取值范围是，5记，为的导函数若对，则称函数为上的“凸函数”已知函数，（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值点，求的取值范围解：（1），若函数为上的凸函数
5、，即，令，当时，当时，单调递减，时，单调递增，的最小值是，即，解得：，故的取值范围是（2）由题意知，则，由题意得在有零点，即在有解，令，故在上单调递增，（1），即，在上单调递增，且，（1），即，故的取值范围是，6已知函数，其中（1）当时，求的单调区间；（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围解：（1）根据题意，函数的定义域为，则有，当时，对于任意，恒成立，；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）若函数在内有极值，则在内有解；令，解之可得，令，则有，当时，恒成立，即得在上单调递减，又因为（1），所以在的值域为，所以当时，有解，设，则，；所以函数在上单调递减，因为，（1），所以
6、在区间上有唯一解，即得当时，在上单调递减；当，时，在，上单调递增，即得当时，在内有极值且唯一；当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意故的取值范围为7已知函数，其中是自然对数的底数（1）求函数的单调区间；（2）设在上存在极大值，证明：解：（1）由题意，函数，则，当时，令，单调递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，综上：当时，在递增，在递减，在，递增，当时，在上单调递增，时，在递增，在，递减，在递增；（2）证明：由函数，则，令，可得，令，解得：，当时，在递增，此时，故，函数在上单调递增，此时不存在极
7、大值，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在，上单调递增，在上存在极大值，故，解得：，易证，存在，存在，使得，故在上单调递增，在，上单调递减，故当时，函数取得极大值，即，由，故8已知函数（1）若，求的最小值；（2）若函数在处取得极小值，且，证明：解：（1）由已知，得对恒成立，令，则，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递减，故，故，令，则，当时，在递减，当时，在递增，故（1），即，当，时，的最小值是；（2）证明：由题意知，当时，令，故函数在上单调递增，又，（a），根据零点存在性定理可知，存在，使得，即，且当时，在递减，当时，在，递增，故在处取极小值，故当时，存在，使得，即，又，即，故，即，在上单调递增，且（1），
