1、技法专题检测(四)压轴大题抢分技法专练1(2015德州模拟)如图，A，B分别是椭圆C：1(ab0)的左、右顶点，F为其右焦点，2是|AF|与|BF|的等差中项，是|AF|与|BF|的等比中项(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，过点F作直线FQ垂直于AP，交直线l于点Q.证明：Q，P，B三点共线2(2015济南模拟)已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围3(2015云南省师大附中适应性考试)已知椭圆C：1
2、(ab0)的离心率为，且抛物线y24x的焦点恰好是椭圆C的一个焦点(1)求椭圆C的方程；(2)过点D(0,3)作直线l与椭圆C交于A，B两点，点N满足 (O为原点)，求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程4(2015山东胶东示范校联考)已知函数f(x)aln x，g(x)f(x)，h(x)f(x)g(x)(1)若函数h(x)在1，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)当a2时，若不等式h(x)tg(x1)(x1，)恒成立，求实数t的取值范围答 案1解：(1)设椭圆C的右焦点为F(c,0)，则由题意可得|AF|ac，|BF|ac，故解得a2，c1，又a2b2c2，所以b，所以椭圆C
3、的方程为1.(2)证明：由(1)知直线l的方程为x2，由题意易知直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为yk(x2)(k0)，联立消去y得(34k2)x216k2x16k2120，故xPxAxP2，所以xP，yP，即P，又QFAP，所以kQF，故直线QF的方程为y(x1)联立解得故Q，所以kPQ，kBQ，所以kPQkBQ，即Q，P，B三点共线2解：(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1，f(x)ex1.在区间(，0)上，f(x)0，f(x)单调递增在x0处，f(x)取得极小值，易知f(x)在区间2,0上单调递减，在区间(0,1上单调递增，且f(2)3，f(
4、1)e，f(2)f(1)故f(x)在区间2,1上的最大值为3.(2)f(x)exa，由于ex0.当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，且当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0时，函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)exa0，解得xln(a)在区间(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，当xln(a)时，f(x)取得最小值函数f(x)不存在零点等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0k22.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.SOAB|OD|x1x2|x1x2|，SOANB2SOAB3|x1x2|333
5、24，令k22t，则k2t2(由上式知t0)，SOANB2424242，当且仅当t，即k2时取等号，当k时，平行四边形OANB的面积的最大值为2.此时直线l的方程为yx3.4解：函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x).h(x)f(x)g(x).(1)h(x).因为函数h(x)在1，)上单调递减，所以h(x)0在1，)上恒成立即a1ln x在1，)上恒成立而函数y1ln x在1，)上单调递减，所以其最大值为1ln 11.所以实数a的取值范围为1，)(2)当a2时，f(x)2ln x，h(x)，g(x1)，不等式h(x)tg(x1)即为.又x1，)，故t(2ln x)记q(x)(2ln x)(x1，)，则q(x)( 2ln x).令m(x)x1ln x，则m(x)1，当x1，)时，m(x)0恒成立，且仅在x1处取等号，则m(x)单调递增，m(x)minm(1)0，故m(x)0在1，)上恒成立，即x1ln x0在1，)上恒成立，所以q(x)0在1，)上恒成立，且仅在x1处取等号，即函数q(x)在1，)上单调递增故q(x)q(1)(2ln 1)4.故t4，即t的取值范围为(，4
