1、吉林省长春市第十一中学2020-2021学年高二数学上学期第二学程考试试题 理第卷（共 60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设命题，则为（ ）ABCD2正方形ABCD的中心为点，AB边所在的直线方程是，则CD边所在的直线的方程为（ ）ABCD3已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（ ）A7B23C5或25D7或234设实数，满足约束条件 则的最小值为（ ）A8B1CD135已知:或，:，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）ABCD6已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程
2、是（ ）ABCD7如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，下列说法错误的是（ ）A对任意点P，平面B三棱锥的体积为C线段DP长度的最小值为D存在点P，使得DP与平面所成角的大小为8阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为，动点满足，当不共线时，面积的最大值是（ ）ABCD9已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于端点的任意点，O为坐标原点，的中点分别为M，N，若四边形的周长为，则的周长是（ ）ABCD10已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（
3、）AB,CD11如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上,，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D12已知球是正三棱锥的外接球，底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）ABCD第卷（共 90 分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知命题p：，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是_.14若关于x的方程有两个不同实数解，则实数k的取值范围是_.15点是椭圆的左焦点，点是椭圆上一动点，则的最大值是_16已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 三、解
4、答题：本题共6小题,共70分.17（本题满分10分）已知的顶点坐标为，（1）求边上的高线所在的直线方程；（2）求的面积18（本题满分12分）已知圆与轴交点的横坐标为和，与轴一个交点的纵坐标为（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦的长为，求直线的倾斜角；（3）求过原点且被圆截得的弦长最短时的直线的方程19（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面平面，且，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于两点，为椭圆的上顶点，那么椭圆的右焦点是否可
5、以成为的垂心？若可以，求出直线的方程；若不可以，请说明理由.（注：垂心是三角形三条高线的交点）21（本题满分12分）长春市十一高中2020-2021学年度高二上学期第二学程考试数 学 （理科） 试 题 如图，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且平面平面.（1）求证：平面；（2）设，求二面角的正弦值.22（本题满分12分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线与椭圆相切，且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.（1）当为线段的中点时，求直线的方程；（2）记的面积为，的面积为，求的最小值.参考答案1. A 2. A 3. D 4.C 5.B 6. B 7.D
6、 8.C 9. A 10.D 11.D 12. B13.14.15.16.17.【答案】（）x+6y22=0；（）16.试题解析：（I）由题意可得，AB边高线斜率k=，AB边上的高线的点斜式方程为，化为一般式可得x+6y22=0；（II）由（）知直线AB的方程为y5=6（x+1），即6xy+11=0，C到直线AB的距离为d=，又|AB|=，三角形ABC的面积S=18【答案】（1）；（2）直线的倾斜角为30或90；（3）【详解】（1）设，则中垂线为，中垂线为，圆心满足，半径，圆的标准方程为（2）当斜率不存在时，：到圆心的距离为1，亦满足题意，直线的倾斜角为90； 当斜率存在时，设直线的方程为，由
7、弦长为4，可得圆心（1，-1）到直线的距离为，即：，此时直线的倾斜角为30，综上所述，直线的倾斜角为30或90（3）当过原点且被圆截得的弦长最短时，直线与直线垂直 直线：19.【详解】（1），平面，平面，又平面，平面平面，面平面，平面，平面，而平面，又，平面，平面（2）以为轴建立空间直角坐标系，由（1），则，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，设直线与平面所成角为，则20.解：（1）设椭圆的焦距为，则，解之得：，（3分）椭圆的标准方程为（4分）（2）假设存在直线使得点是的垂心，是的垂心，,从而，（5分）设直线的方程为.由得，令，则，即（6分），则（7分）又 ，化简可得：或（10分）当时点为直
8、线与椭圆的交点，不合题意；（11分）当时，经检验与题意相符.当直线的方程为时，点是的垂心.（12分）21【详解】（1）证明：四边形为矩形，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面，平面，又平面，且，平面平面，由平面可得平面；（2）由（1）知平面，平面，且四边形为矩形，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，设平面的一个法向量为，且则即，取得，设平面的一个法向量为，则即，取得，设二面角的平面角为，则.22.【详解】解：（）由椭圆，可得：由题意：设点，当为的中点时，可得：代入椭圆方程，可得：所以：所以.故直线的方程为.（）由题意，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为：令，得：，所以：.联立：，消，整理得：.因为直线与椭圆相切，所以.即.设，则，所以.又直线直线，所以设直线的方程为：.令，得，所以：.因为，所以直线的方程为：.令，得，所以：.所以.又因为.所以（当且仅当，即时等号成立）所以.
