1、四川省绵阳南山中学2020届高三数学9月月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.已知命题P：，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定即可写出非命题.【详解】因为P：所以为：故选A.【点睛】本题主要考查了含全称量词命题的否定，属于中档题.3.设命题，
2、命题，则是成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出、中两个不等式的解，利用集合的包含关系即可判断出、之间的充分条件和必要条件关系.【详解】解不等式，得，解不等式，得，即，因此，是成立的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，在涉及不等式与方程时，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力与运算求解能力，属于基础题.4.已知角的终边过点，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出点的坐标，然后利用三角函数的定义结合可求出实数的值.【详解】，则点的坐标为，由
3、三角函数定义可得，则，整理得，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用三角函数的定义求参数，在利用三角函数的定义列式时，要结合三角函数值符号判断出参数的符号，考查计算能力，属于基础题.5.要得到函数的图象，可将的图象向左平移（ ）A. 个单位B. 个单位C. 个单位D. 个单位【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.【详解】，因此，将的图象向左平移可得到函数的图象.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.6.若函数（且）的两个零点是、，则（ ）A.
4、 B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】作出函数和函数的图象，设，则，利用零点的定义得出，利用指数函数的单调性可得出，然后结合对数函数的单调性与运算性质可得出结论.【详解】作出函数和函数的图象如下图所示，设，则，由零点的定义可得，由于指数函数在上单调递减，则，即.若，则，即，由于对数函数在上为增函数，所以，；若，同理可得.综上所述，.故选：C.【点睛】本题考查函数零点积的取值范围的计算，考查指数函数、对数函数单调性以及对数运算性质的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,当时,利
5、用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.【详解】令,则,所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,当时,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,结合图像分析,不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.8.已知函数，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式可得知与互为相反数，由此可得出的值.【详解】，.故选：D.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.9.三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由求出实数的值，然后利用导数能求出函数在区间上的最小值.【详解】，由题意得，解得，令，得或.当时，；当时，.所以，函数在区间上的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.10.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由结合二倍角的降幂公式化简可得出结论.【详解】，即，即，即，化简可得.故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式化简，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知函数的定义域为，且，若方程有
7、两个不同实根，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】作图，由图知 ，的取值范围为，选A.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等12.若函数图象恒在轴上方，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，不等式对任意的恒成立，由于，可知不等式对任意的非零实数恒成立，换元，可得出，求出二次函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】由题意知，不等
8、式对任意的恒成立，所以，不等式对任意的非零实数恒成立，即不等式对任意的非零实数恒成立，由参变量分离法可得，令，由于函数在区间和上均为减函数，所以，当时，二次函数取最大值，则.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，利用参变量分离法求解是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程【详解】，当时其值为，故所求的切线方程为，即【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线
9、方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f(x)；求切线的斜率f(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程14.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积（弦矢矢2）弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为米的弧田，如图所示按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是_平方米（结果保留整数，）【答案】【解析】【分析】计算出“弦”和“矢
10、”，然后利用弧田面积公式可计算出结果.【详解】由题意可知，弧田的“弦”（米），“矢”为（米），因此，弧田面积为（平方米）.故答案为：.【点睛】本题考查“弧田”面积的计算，解题的关键就是计算出“矢”和“弦”，考查计算能力，属于基础题.15.已知函数的图象关于直线对称该函数的部分图象如图所示，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据是以为斜边的等腰直角三角形可求出函数的最小正周期和最大值，由此可得出和的值，再利用函数的对称性结合的取值范围求出的值，进而可得出该函数的解析式，即可计算出的值.【详解】由于，所以，是以为斜边的等腰直角三角形，设函数的最小正周期为，则，且有，此时，因为函数的图象关于直线对称
11、，当时，得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数图象求三角函数值，根据图象求出解析式是关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.16.是定义在上函数，满足且时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】或或【解析】是定义在上偶函数，在上为单调增函数，化简后： ， (1)当时显然成立；（2）当时，式解为或，对任意，式恒成立，则需，故.（3）当时，式解为或，对任意 ，式恒成立，则需，故，综上所述，或或，答案为或或.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值和最小值【答案】（1）
12、最小正周期为；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出该函数的最小正周期；（2）由可计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值和最小值.【详解】（1），因此函数的最小正周期为；（2）因为，所以，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期和最值的计算，解题的关键就是利用三角恒等变换思想化简三角函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.18.内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）2【解析】分析：(1)在中，由正弦定理的推论
13、可把 边化成角得，用诱导公式变形为，再用两角和的正弦公式变形化简可得，化简可得，进而求得（2）由(1)的结论和条件，要求三角形的面积，应先求一条边所以应由正弦定理求一条边先由， ，求得 再由和两角和的正弦公式求得再由正弦定理可得进而用三角形的面积公式可得详解：(1)在中，因为 ，所以所以 ，化简可得 因为，所以 因为 ，所以（2）因为， ，所以 因为所以 在中，由正弦定理可得 所以 的面积为2.点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积； （2）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；1
14、9.已知中，内角、的对边为、，三角形外接圆的半径，证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）采用坐标法证明，方法是以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，表示出点和点的坐标，利用两点间的距离公式表示出，化简后即得到；（2）作出三角形的外接圆，分角为锐角、直角、钝角三种情况讨论，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等结合锐角三角函数的定义以及诱导公式证明出，同理可证明出，进而得出结论.【详解】（1）已知中，内角、的对边为、，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，则，故得证；（2）在中，设，若为锐角，如下图所示，过点作的垂线交的外接圆于点，连
15、接，则，由同弧所对的圆周角相等可得，由锐角三角函数的定义可得，；若为直角，则，此时成立；若钝角，如下图所示：过点作的垂线交的外接圆于点，连接，则，且，由锐角三角函数的定义可得，.同理可证明出，因此，.【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的证明，本题的解答方法比较多，可以利用向量法证明，也可以利用分类讨论证明20.已知函数，直线（1）求函数的极值；（2）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数分析函数的单调性，进而可得函数的极值；（2）令，利用参变量分离法得出，令，设，分析函数的单调性，从而确定在不同取值下两
16、曲线交点的个数.【详解】（1）函数定义域为，求导得，令，解得列表如下：极小值所以函数的单调增区间为，单调减区间为，所以函数有极小值，无极大值；（2）“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”，由方程，得令，则，其中，且，考查函数，其中，因为，所以函数在上单调递增，且，而方程中，且，所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，综上所述，当时，曲线与直线没有交点；当时，曲线与直线有且仅有一个交点【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，曲线的交点问题，体现了转化的思想方法，属于中档题21.已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点
17、，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.【详解】（1）函数的定义域为，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；当，时，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；当时，因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点综上所述，函数的定义域内有2个零点；
18、（2）因为是的一个零点，所以，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.设曲线的切点为，过切点为切线，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，当切线斜率等于直线的斜率时，即，切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.【点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.在直角坐标系中，已知倾斜角为的直线过点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程
19、为，直线与曲线分别交于、两点（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的斜率【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由倾斜角为的直线过点，能求出直线的参数方程；曲线的极坐标方程化为，由此能求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得出关于的一元二次方程，列出韦达定理，利用的几何意义结合条件可得出关于的三角方程，求出的值，即可得出直线的斜率的值.【详解】（1）倾斜角为的直线过点，直线的参数方程为（为参数），在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，因此，曲线的直角坐标方程为；（2）曲线的直角坐标方程可
20、化为，将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程得，整理得，得.设、两点在直线上对应的参数分别为、，由韦达定理得，即，所以，解得满足，此时，所以，因此，直线的斜率为.【点睛】本题考查直线的参数方程、曲线的直角坐标方程、直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是中档题23.已知函数（1）解不等式；（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）讨论范围去掉绝对值符号，再解不等式.（2）将函数代入不等式化简，再利用绝对值三角不等式得到不等式右边的最小值，转化为存在问题求得答案.【详解】解：（1），或或，解得：或或无解，综上，不等式的解集是（，）（2）（当时等号成立），因为不等式解集非空，或，即或，实数的取值范围是 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，存在问题，题型比较综合，意在考查学生的计算能力.