1、吉林省长春市养正高级中学2021届高三数学上学期月考试题 理第卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设全集，函数的定义域为，则为A. B. C. D. 2. 复数满足，则 A. 1B. C. 2D. 3. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为A. 的值B. 的值C. 的值D. 的值4. 5名学生和2名老师排成一排照相，2名老师不在两边且不相邻的概率为A. B.C. D. 5. 在中，角的对边分别是，若，则A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为A. B. C. D.7. 如图是一
2、个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. B. C. D. 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，米，并在测得塔顶的仰角为，则塔的高度为A. 米B. 米C. 米D. 米9. 若等差数列的前项和有最大值，且，则当数列的前项和取最大值时，的值为A. 11B. 12C. 22D. 2310. 如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分面积为A. 1B. C. 2D. 11. 已知是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率是A. B. C. D. 12. 已知函数，若，则的最小值为A. B. C. D. 第卷本卷包括必考题
3、和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知函数与的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位后与的图象重合，则的最小值为_. 14. 在平面直角坐标系中，若满足，则当取得最大值时，点的坐标是_.15. 给出下列5种说法：在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；标准差越小，样本数据的波动也越小；回归分析研究的是两个相关事件的独立性；在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；相关指数是用来刻画回归效果的，的值越大
4、，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是_（请将正确说法的序号写在横线上）.16. 如图，在三棱锥中，与是全等的等腰三角形，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足.(1) 计算，猜想的表达式并用数学归纳法证明；(2) 设，数列的前项和为，求证：. 18. （本小题满分12分）某城市随机监测一年内100天的空气质量PM2.5的数据API，结果统计如下：API天数61222301416(1) 若将API值低于150的天气视为“好天”，并
5、将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；(2) API值对我国部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润与API值的函数关系为：（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和，求离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差. 19. （本小题满分12分）在三棱柱中，侧棱平面，为棱上的动点，是的中点，点在棱上，且.(1) 设，当为何值时，平面；(2) 在(1)条件下，求二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知点，点为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且. (1) 求动点的轨迹的方程
6、；(2) 设点的轨迹与轴交于点，点是轨迹上异于点的不同的两点，且满足，在处分别作轨迹的切线交于点，求点的轨迹的方程；(3) 求证：为定值. 21. （本小题满分12分） 已知函数. (1) 若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围；(2) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3) 求证：. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲. 如图是圆的一条弦，过点作圆的切线，作，与该圆交于点，若，. (1) 求圆的半径；(2) 若点为中点，求证三点共线. 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选
7、讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1) 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2) 求曲线上的任意一点到曲线的最小距离，并求出此时点的坐标. 24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数. (1) 若不等式的解集为，求实数的值；(2) 在(1)条件下，若存在实数，使得恒成立，求实数的取值范围. 答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. A3. C4. B5. A6. A7. C8. D9. C10. D11. C12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一
8、道常规问题.【试题解析】A，则故选A. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】A根据复数的几何意义，由题意，可将看作夹角为的单位向量，从而，故选A. 3. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C由秦九韶算法，故选C. 4. 【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用，既对抽象概念进行提问，又贴近生活实际，是数学与生活相联系.【试题解析】B，故选B. 5. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生
9、的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A由正弦定理得，再由余弦定理可得，故选A. 6. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A判断函数为奇函数，排除；又由于当时，的增加速度快，故选A. 7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为，故选C. 8. 【命题意图】本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题，对学
10、生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】D在中，由正弦定理得，在中，故选D. 9. 【命题意图】本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前项和的理解，理解了等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】C由等差数列的前项和有最大值，可知，再由，知，从而有，即，从而使得数列的前项和取最大值的，故选C. 10. 【命题意图】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】D所求封闭图形面积等价于，故选D. 11. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结
11、合能力提出较高要求.【试题解析】C不妨设点在双曲线右支，分别为左，右焦点，有，由，可得，由知，的最小内角为，从而为直角三角形，此时双曲线离心率，故选C. 12. 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质和运算，并对基本不等式的考查也提出很高要求，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求.【试题解析】C由可得，而=，当且仅当时取“=”，从而， ，故选C. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析
12、】函数的解析式为，其图象向右平移个单位后对应解析式为，从而，即，所以. 14. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】令，由可行域可知其在第一象限，故可看成从点向轴，轴引垂线段，所围成矩形的面积，故其可能取最大值的位置应在线段上，当时取最大值，此时15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，的说法正确. 16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求
13、，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】取中点分别为，连接，由题意知，易知三棱锥的外接球球心在线段上，连接，有，求得，所以其表面积为. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着一定的难度，但是是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 因为，所以，由此整理得，于是有：，猜想：证明： 当时，猜想成立. 假设时猜想成立，即，那么所以当时猜想成立，由可知，猜想对任何都成立. (6分)(2) 由(1)，于是：又因为，所以. (12分)18. 【命题意图】本小题
14、主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为.(4分)(2) 的所有可能取值为45,70,95,120.4570951200.2160.4320.2880.064(12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：，则，即.(6分)(2) 取中点，可知，.
15、以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系. ，平面中，平面中，.即二面角的余弦值为.(12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 由可得：，即，可知点为线段中垂线上的点，即，故动点的轨迹为以为焦点的抛物线，其方程为. (4分)(2) 设直线的斜率为，易得，可求得切线的方程为，化简整理得因为，所以，故直线的方程为.联立直线和抛物线方程解得，所以切线的方程为，化简整理得-
16、得，所以(定值).故点的轨迹为是垂直轴的一条定直线. (8分)(3) 由(1)有，所以，.故(定值).(12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为，.令，得；当时，单调递增；当时，单调递减. 所以，为极大值点，所以，故，即实数的取值范围为.(4分)(2)当时，令，则.再令，则，所以，所以，所以为单调增函数，所以，故.(8分)(3) 由(2)知，当时，.令，则，所以，所以，所以所以.(12分)22. 【命题意图】本
17、小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解： (1) 取中点为，连结，由题意知，为圆的切线，为割线，由，在中，由勾股定理得，. (5分)(2) 由(1)知，所以四边形为平行四边形，又因为为的中点，所以与交于点，所以三点共线. (5分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，的普通方程为的直角坐标方程为. (5分)(2) 设，则到的距离，当，即时，取最小值，此时点坐标为.(10分)24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：(1) 由，得，即其解集为，由题意知的解集为，所以. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数，使得恒成立，即，而由绝对值三角不等式，从而实数.
